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fie A, ' > ' ^ '^ se décompose suivant le module n eu 



•i{i — a) ' ' 



deux facteurs irréductibles de degré X; en remplaçant dans cette fonction 

 X- par j-, ou obtient une fonction irréductible de degré X, car autrement 

 la substitution de x- kj ne donnerait pas deux facteurs irréductibles de 

 degré X, puisque X est impair. Si l'on fait fc — 3, l'un des deux nombres ^ + i, 

 /j — I est divisible par 3 pour p > 3; on peut faire X égal à 3", « étant un 



nombre entier quelconque si^-^ — n'est pas divisible par 3; — aa est alors 

 égal à I. 



» Lorsqu'on a une fonction irréductible (mod. /)), de degré v, j'ai 

 démontré un théorème [Comptes rendus, 29 avril 1878) qui permet de for- 

 mer facilement des fonctions irréductibles de degré v . 2'. Eu effet, si l'on 

 remplace x par x' dansj\x), la fonction nouvelle f{x') est irréductible 

 ou se décompose en deux facteurs irréductibles de degré v suivant le 

 module p. Dans le premier cas, d'après le théorème que je viens de rap- 

 peler, le produit A des carrés des différences des racines dey(j:-)^o est 

 non-résidu quadratiqvie (mod.p)*, dans le second cas, A est résidu quadra- 

 tique. Or A = ( — i)"'2"'y(o)Aj, en supposant que le coefficient de a?"' 

 dansy(x) est égal à i, et A, représentant le A de/{x). Donc la fonction 



—f{ax--i-b) sera irréductible si (— i)''"-^^ est non-résidu quadratique. 



Cette condition étant satisfaite, la fonction -/[ax^^'-h b) sera également 

 irréductible suivant le module/;, quel que soit l'entier i, si v est pair. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Remarque relalive à deux intégrales obtenues 

 par Lamé dans la théorie analytique de la chaleur. Note de M, Escauy. 



« Nous avons vu [Comptes rendus, t. LXXXVII, p. 646) que la fonction 



(Il (c- - x'^)^rx"'-'- (^'-o(^-^-') ^.y«-^-. ] 



^ ' ^ ' |_ 2(2/2 — l) J 



se met sous la forme 



' ~2"-'r(2/+i)r(/2 + i)V'' '■ J dV"+' ' 

 le polynôme entre crochets étant, à un facteur constant près, le coefficient 



