( i4o4 ) 



MEMOIRES PRESENTES. 



MÉCANIQUE. — Développement d'une fonction à une seule variable, dans un 

 intervalle donné, siiivarjt les valeurs mojennes de cette Jonction et de ses 

 dérivées successives dans cet intervalle. Mémoire de M. H. Léacté. (Extrait 

 par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Bertrand, Piiiseux, Bouquet.) 



« Les problèmes ordinaires de Mécanique appliquée se ramènent, en 

 général, à la détermination d'une fonction assujettie à certaines conditions, 

 et il suffit, dans la plupart des cas, de déterminer cette fonction dans un 

 certain intervalle que fixent les conditions mêmes du mécanisme étudié. 



» D'autre part, les équations de la Mécanique appliquée, étant toujours 

 approximatives, sont surtout propres à fournir les valeiu's moyennes (') 

 des quantités qui y figurent. 



» Ces deux considérations montrent qu'il y a intérêt, au point de vue 

 des applications, à substituer au développement de Maclaurin, où entrent 

 les valeurs de la fonction et de ses dérivées successives en un point déter- 

 miné, un autre développement procédant suivant les valeurs moyennes de 

 la fonction et de ses dérivées dans l'intervalle que l'on considère. 



» C'est la recherche de ce développement qui constitue le présent 

 travail. 



M Je résous d'abord la question suivante : 



» Trouver le polynôme en x de degré n tel que sa valeur moyenne et celles 

 de ses n dérivées, dans l' intervalle de — Ii à -h /i, soient égales à n -\- J quan- 

 tités données Y,,, Y, , . . . , Y„. 



» On trouve que le polynôme y peut se mettre sous la forme 



jr=PoYo+P,Y, + ... + P„Y„, 



Po, P,, ..., P„ étant des polynômes en x et h de degré égal à leur indice, 

 que je désigne sous le nom de polynômes auxiliaires et qui sont indépen- 

 dants des valeurs de Yo, Y,, . . . , Y„ que l'on s'est données. 



(') La valeur moyenne de/"(x) dans l'intervalle de a à b esl 7 / /[x)d.c. 



