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» Le problème est ainsi ramené au calcul des polynômes auxiliaires. 



» Or il est facile de voir que ces polynômes jouissent des propriétés 

 énoncées ci-après : 



» 1° Chacun d'eux est indépendant du degré du polynôme ^ que l'on 

 veut former et ne dépend que de son degré à lui-même, de telle sorte que 

 tous ces polynômes forment une suite indéfinie parfaitement déterminée. 



» 2° La valeur moyenne dans l'intervalle considéré d'un polynôme quel- 

 conque est égale à zéro, sauf pour le premier, dont la valeur moyenne est 

 égale à l'unité. 



» 3° Chacun de ces polynômes auxiliaires est la dérivée du polynôme 

 de degré immédiatement supérieur. 



» Cette dernière propriété, qui fait rentrer les polynômes auxiliaires 

 dans la classe de ceux étudiés par M. Appell ('), suffit, avec la précédente, 

 pour les déterminer complètement. 



» Cela posé, le polynôme P„ étant pris sous la forme 



je montre que les coefficients B„, B,, ..., B„ sont indépendants de h, que 

 tous les coefficients d'mdice impair sont nuls et que les coefficients d'in- 

 dice pair sont fournis par l'équation 



B, B] B„_, 



-tH tH h -^— = o, 



pi p — 2 ! 1 



où l'on donne successivement à p la suite des valeurs impaires et où l'on 

 fait Bo égal à l'unité. 



» La fonction génératrice de ces coefficients est alors 



Quant à la fonction génératrice ^{x, z) des polynômes auxiliaires, elle est 

 donnée par 



» Les polynômes de degré impair ont pour racines — h, zéro et -h fi, 

 excepté le premier, qui est égal à x; les polynômes de degré pair ont une 



(') Appell, Sur une certaine classe de polynômes [Annales de l'École Normale, 2* série, 

 t. IX, l88o). 



