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 racine réelle comprise entre — h et zéro, el une entre zéro et +h. J'éta- 

 blis d'ailienrs que les polynômes auxiliaires ne peuvent avoir, dans l'inter- 

 valle de — // à + h, d'autres racines réelles que celles indiquées, et je 

 prouve qu'ils n'ont pas forcément toutes leurs racines réelles. 



)) Le développement auquel on est conduit pour représenter une fonc- 

 tion j-j dans l'intervalle de — /î à + /?, est le suivant : 



y = (^moy.yj_ + 3-^^moy.-j_ + -3^^^moy. 





3.3! V •'•r/.r^y_,, ' 3.4.' \"'"J-dx')^n 



On voit que, lorsque l'intervalle considéré diminue indéfiniment, la série 

 précédente devient celle de Maclaurin, ce qui devait être. 



» Dans la plupart des questions de Mécanique appliquée, il suffira d'em- 

 ployer les deux ou trois premiers termes du développement. Cela revient 

 à remplacer la courbe représentative de la fonction inconnue soit par une 

 droite parallèle à la corde extrême, soit par un arc de parabole. Dans tous 

 les cas d'ailleurs, la ligne substituée à la courbe réelle traverse cette der- 

 nière de manière à déterminer une surface équivalente et à avoir la même 

 direction moyenne. 



» Il en résulte que les erreurs à craindre dans l'intervalle considéré 

 sont, en général, moindres que si l'on avait fait usage de la formule de 

 Maclaurin. Cette formule, en effet, qui donne une grande approximation 

 dans les environs du point de départ, expose à des erreurs très sensibles 

 dès que l'on s'éloigne de ce point particulier. Or, dans les questions de 

 Mécanique pratique, c'est surtout la marche générale du phénomène qu'il 

 importe de saisir plutôt que son expression exacte en un point donné. 

 Aussi conviendra-t-il, dans la généralité des cas, d'employer de préférence 

 le mode de développement précédemment indiqué. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la résolution de r équation x" -{- y" = z" 

 en nombres entiers. Mémoire de M. Lefébuise. (Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Hermite, Bonnet, Bouquet). 



« Le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie contient 

 divers théorèmes auxquels j'ai été conduit dans mes recherches sur la réso- 

 jution de l'équation j:" + j>"= z" en nombres entiers, ainsi que la méthode 



