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 approchée des dérivées d'ordre très élevé de ces fonctions. Je me propose 

 de montrer qu'en suivant la méthode indiquée duns mon Mémoire Sur 

 l'approximation des fondions de cjrands nombres, on ohtient sans difficulté 

 non seulement le premier terme de ces expressions approchées, donné 

 par M. Caliandreau, mais autant de termes qu'on le voudra. 



a Je ferai d'abord remarquer que ces transcendantes^* se ramènent 

 aux fonctions P(X, j') considérées par Legendre dans le Tome 11 du Traité 

 des Jonctions elliptiques (p. 53 1). On a 



et 



le symbole F désignant une série hypergéomélrique. 



« Cette série est, comme on sait, finie et continue, ainsi que ses dé- 

 rivées, tant que le module de à^ est plus petit que l'unité; elle conserve la 

 même propriété en tous les points du cercle de convergence, à l'exception 

 de celui qui correspond à la valeur a^ = \ . L'application de la méthode 

 d'approximation que j'ai proposée exige que l'on recherche d'abord com- 

 ment la fonction devient discontinue dans le voisinage de la valeur a- = i. 



» Je me servirai pour cela de la formule 



donnée par M. Kummer dans son beau Mémoire Sur la série hypercjéomé- 

 fn'aue, formule que l'on peut aussi, en s'aidant d'autres résultats obtenus 

 par M. Kummer, mettre sous la forme 



P()., s) = T{\-s -l)T[i-s-h ).)a-'F [^ + X, ^ - X, j + ^, - ^^^^ 1 



+ 2— î:i^^a-^(i-a)'-"Fri+X,i-X,^-.,-iif^n. 

 r'(.«) *■ ' La 2 2' 4" J 



» La fonction P(X, 5) nous apparaît ainsi, dans le voisinage du point 

 a = I, comme composée de deux parties : la première, qui demeure finie 

 et continue, ainsi que ses dérivées, pour a = i ; l'autre, au contraire, qui 

 cesse d'être continue et bien déterminée pour a — i. Conformément à la 



