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 qui se démontre aisément par des procédés élémentaires et qui peut aussi 

 se déduire d'un théorème de Jacobi, donné dans le Tome 56 du Journal 

 de M. Borchardt. Si l'on y change t en /-, et qu'on l'applique au polynôme 

 P(X, s), on aura 



'^^'''^)-r{s)T{p + i-is) 



» Cette formule contient, on le voit, un paramétre p dont on peut dis- 

 poser de manière à obtenir des expressions très variées de P(X,5). Pour 

 trouver une expression simple des dérivées de P(X,,9), je donne à p la 

 valeur i et j'obtiens 



r'(5)r(2 — 2j) 



\^ -^ rt'F(l -5 + X, I — 5, 2 — 2^, I - i-)ch. 



" u 



» Décomposons — en fractions simples, ce qui donne 



[ai] + 



I — fl!/! '^ ' 3 1 — (It 1 1 -h at 



et substituons cette expression dans la formule précédente. Si l'on prend la 

 dérivée n''""' de P(X, s), n étant supérieur à X — 2, les termes provenant de 

 la partie entière o{at) disparaissent, et l'on obtient l'expression très 



simple 



P(.v)r(.-..0_^p 



_ r' 2j+u«-./,_^2\.-2^r — \ (-1)'-+" 1 ^^^ 



Cette expression pourrait aussi se déduire, par un changement de variables, 

 de la formule élégante 



r{n -t- i) rfa" 



qui ma été communiquée par M. Tisserand. 



