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 tution de H -4- j' à H augmentera la convergence du développement, et cela 

 d'autant plus que la valeur numérique de H sera moindre. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles linéaires à 

 une variable indépendante. Note de M. Appell, présentée par 

 M. Bouquet. 



H Je me propose, dans cette Note, d'indiquer pour les équations diffé- 

 rentielles linéaires un théorème analogue au théorème sur les fonctions 

 symétriques des racines d'une équation algébrique. 



» I. Soient 



(i) 



d"y 



dx" 





f/n-2 



-d.t 



-h . 



• + finy— O 



une équation différentielle linéaire sans second membre, et y^^ jy,, . . . , j,^ 

 un système fondamental d'intégrales. Le théorème en question est le sui- 

 vant : 



» Toute fonction algébrique entière F de j-^, y,,, . . . , j„ et des dérivées de 

 ces fondions^ qui se 7-eproduit multipliée par unjacteur constant différent de 

 zéro quand on remplace j-,, j^, . . . , j„ par les éléments d'un autre système 

 fondamental d'intégrales, est égale à une fonction algébrique entière des coeffi~ 

 cients de l'équation différentielle et de leurs dérivées multipliée par une puissance 

 de e-^".''*. 



» La fonction supposée F doit, en particulier, se reproduire, à un fac- 

 teur constant près, quand on permute entre elles les fonctions )',, J'^, ■ • -, 

 j-„. Il résulte de là que cette fonction contient les dérivées de )\, /,, ...,/„ 

 jusqu'au même ordre de dérivation. Soit p cet ordre; la démonstration du 

 théorème comprend trois parties : 



M 1° Si l'ordre p des plus hautes dérivées de j,, j-„, . . . , y„ qui figurent 

 dans F est moindre que n — t, la fonction F se réduit à une constante. 



» 2° Si p = 71 — I, la fonction F est, à un facteur près indépendant de 

 j,,j^2, • • • ) 7"/!» unp puissance du déterminant 



