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c'est-à-dire, d'après un théorème de M. Liouville, une puissance de e"^"'''''. 



» 3° Si p est plus grand que 71 — i, on peut toujours, à l'aide de l'équa- 

 tion différentielle (i), remplacer dans F toutes les dérivées de j^',,^,» • • ■ ■> 

 y„ d'ordre supérieur si Ji — i par les autres. Cette opération n'introduit 

 évidemment dans F que des fonctions entières des coefficients de l'équation 

 différentielle et de leurs dérivées. On transforme ainsi la fonction F en une 

 autre de même nature qui ne contient plus que les dérivées de^,, 72» • ■ ■ ■> 

 j„ jusqu'à l'ordre n — i inclusivement; par suite, d'après le deuxième cas, 

 cette fonction est une puissance de e~^''^''^ multipliée par un facteur qui ne 

 peut être qu'une fonction algébrique entière des coefficients de l'équation 

 différentielle et de leurs dérivées; ce qui démontre le théorème. 



» II. Parmi les applications de ce théorème se trouve la formation de cer- 

 tains invariants ou semi-invariants des équations différentielles linéaires (voir 

 deux Notes de M. Laguerre, Comptes rendus^ t. LXXXVIII, p. 1 16, 224). 



» Cherchons, par exemple, la condition nécessaire et suffisante pour 

 qu'il y ait entre les éléments d'un système fondamental d'intégrales de 

 l'équation (i) une relation algébrique entière de la forme 



(2) ?A-,(jn r2, • • ■,?'«) + ?A, (7,, j2. . • -, >'«) + ■ • •+?*„,( Ji»j2; • ■ •>;•«)="' 



où les (p sont des fonctions homogènes de j, , j'j, . , . , ^„ d'un degré mar- 

 qué par l'indice. La relation (2) ne change évidemment pas de forme si l'on 

 passe du système fondamental 7,, j.,, ...,Jk à un autre système fonda- 

 mental quelconque; elle contient un nombre 



j 1.2.../, 



de coefficients constants. Si l'on différentie N — i fois l'équation (2) par 

 rapport à x, on obtient un système de N équations homogènes et de pre- 

 mier degré par rapport aux N coefficients constants. Le résultat de l'élimi- 

 nation de ces constantes est un certain déterminant D égalé à zéro. Ce dé- 

 terminant est une fonction de J,,j2, •• ■,J'n et de leurs dérivées qui 

 rentre dans les conditions du théorème I. On peut donc, d'après ce théo- 

 rème, exprimer D en fonction des coefficients de l'équation différentielle 

 et de leurs dérivées, et l'on a ainsi la condition cherchée D = o. 



» Cette fonction D est un semi-invariant par rapport au changement de 

 variable indépendante; elle est un invariant complet si la relation (2) est 

 homogène par rapport à j-, , ;? o, . . . , j„. 



