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 » ITI. Le ihcorème qui fait l'objet de cette Note peut s'étendre aux 

 équations diflerentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles du 

 genre de celles que j'ai considérées précédemment (voir p. 296, 731 de ce 

 Volume). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines équations différentielles linéaires 

 du second ordre. Note de M. E. Picard, présentée par M. Hermite. 



« On doit à M. Klein une méthode très remarquable pour reconnaître 

 si une équation différentielle linéaire donnée du second ordre, à coeffi- 

 cients rationnels, peut ou non être intégrée complètement au moyen des 

 fonctions algébriques {Bulletin des Sciences malhématiques, iSy^, et Math. 

 Annalen, t. IX). Les considérations si profondes dont s'est service savant 

 géomètre peuvent être employées pour l'étude d'une classe d'équations du 

 second ordre à coefficients doublement périodiques : c'est ce que je me 

 propose de montrer dans cette Note. 



» Soit 



une équation linéaire à coefficients doublement périodiques. Je veux consi- 

 dérer la classe de ces équations pour laquelle toute intégrale y satisfait 

 à une équation de la forme 



r'" + A,y"-'4-...+ A,„ = o, 



où les A sont des fonctions uniformes de œ dans toute l'étendue du plan. 

 » Désignons par yj le quotient de deux solutions particulières distinctes 

 de l'équation (i). Il satisfait à l'équation du troisième ordre 







■Ci satisfera à tme équation de la même forme que j, et, réciproquement, 

 si y) satisfait à une équation algébrique à coefficients uniformes, il en sera 

 de même de toute intégrale de l'équation donnée, pourvu toutefois que 

 e^P^'^'^ jouisse de la même propriété. Nous nous trouvons donc amené à 

 étudier la classe des équations pour lesquelles le quotient de deux solutions 

 distinctes satisfait à une équation algébrique à coefficients uniformes. 



