( i48o ) 



it Nous pouvons appliquer ici la méthode dont s'est servi M. Klein 

 (voir les Mémoires cités) pour trouver la forme de l'équaJion donnant v;. 

 Il résulte de cette étude que ces équations, abstraction faite des transfor- 

 mations linéaires que l'on peut faire subir à vj, se réduisent à cinq, conte- 

 nant chacune un paramètre arbitraire R. Par suite, les intégrales de l'é- 

 quation différentielle en vj doivent être données par une de ces équations, 

 en remplaçant R par une fonction uniforme convenable de x, et nous 

 avons à chercher maintenant quelle peut être la nature de cette fonction 

 uniforme dans le cas où, comme je l'ai supposé, p^ et p, sont doublement 

 périodiques aux périodes 2K et a/K'. 



» La première des équations aura la forme bien simple 



(3) -c^^RH, 



où n est un entier arbitraire. Quand on change ce enx -+- 2K, les racines 

 de l'équation ainsi obtenue devront être des fonctions linéaires (fraction- 

 naires ou entières) des racines de la première; donc, a, j3, y et $ étant des 

 constantes convenables, l'équation (3) et la suivante, 



(4) (7-/Î + 5)'' = (a-/î+/5)"R(^ + 2K). 



devront avoir une racine commune. Soit d'abord n = i ; la fonction R(a;) 

 satisfera alors aux deux relations 



R(^+.K)=ZJ|^^, R(.4-./K')=ffl4ti;, 



les a, |3, 7 et â étant des constantes. On montre facilement que l'on peut 



trouver quatre quantités A, B,C et D telles que, en posant F{x)= ^. ' -, 



F (a:) satisfasse à l'un ou l'autre des systèmes de relations qui suivent, 



F{x-h-2K) = p.F{x), et F(a;+2z'K') = p/F(^)+X', 

 , p. I où l'on a d'ailleurs, condition nécessaire, X(i — p.') = X'(i — p.), 



^ F(^ + aR) = -F(a-), F(^^2/R')=--|:^. 



et l'on voit, par suite, que F[x) et par conséquent R(.r) pourront s'ex- 

 primer à l'aide des transcendantes de la théorie des fonctions elliptiques. 

 » Passons au cas où n est différent de l'unité. Je montre que, en laissant 

 de côté le cas, rentrant dans le précédent, où R(^) est la puissance n"^"* 

 d'une fonction uniforme, les équations (3) et (4) ne peuvent avoir de so- 



