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 lutions communes que si 7^ = o et «,'5 = o; on en conclut que R(^) satis- 

 fera à l'un des systèmes de relations qui suivent : 



R(a^ + 2K)= /xH(^) et R(x-+2iK')= (J-'^i^), 

 (6) 



R(^-l-2K) = ± R(^) et R(a.-+2/K')= ^^, 



R(a' + 2K)= -f^ et R(^ + 2jK') = ±R(a7), 

 ^i--^-^-)= ^) et R(x-+2.-K') = ±^. 

 » L'équation différentielle correspondant à l'équation (3) est 



W :i\n'j ~" R' 2\r7 "^ irr \V. } ' 



Pour qu'elle coïncide avec l'équation (2), il faudra que 



» On devra satisfaire à cette équation en prenant pour R une fonction 

 satisfaisant à l'une ou l'autre des équations (5) si /j =: i et, dans les autres 

 cas, à l'un des systèmes de relations (6). On reconnaît d'ailleurs immédia- 

 tement que, en prenant pour R une fonction quelconque satisfaisant à l'un 

 de ces systèmes, le premier membre de (■7) est une fonction doublement 

 périodique ordinaire. 



» On vérifie facilement sur l'équation (i) si le quotient de deux solutions 

 est uniforme. Laissant donc de côté le cas de « — i, on aura à reconnaître 

 si l'on peut satisfaire à l'équation (7), pour une valeur convenable de «, 

 par des fonctions R jouissant des propriétés indiquées : c'est là une ques- 

 tion d'Algèbre qui n'est pas sans intérêt. Je dirai seulement ici qu'on peut 

 déterminer a priori la valeur possible de /z, si elle existe; cette première 



détermination effectuée, nous remarquerons qu'en posant -—=v\e premier 



membre de (7) devient une fonction rationnelle de v, v' et t'", et, comme 

 ici V devra être une fonction doublement périodique de première espèce, 

 on poura faire facilement la vérification dans l'équation transformée. 

 M La seconde équation de M. Klein peut s'écrire 



•/3=«+-/l«[2-4R(x-)] + 1 = 0. 



u Je me bornerai à indiquer le résultat pour « = i. On trouve que, en 



