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» Il résulte de ce qui précède que la transcendante ai J^ •> laquelle ne 



contient que des puissances de a toutes paires ou toutes impaires, est 

 égale, à un facteur près, à l'intégrale 



X 



r" 



„ {,_ a, ■!'+'+/ 



-f/r, 



augmentée d'une série convergente d'intégrales analogues dans lesquelles 

 l'exposant négatif de i — a.r est augmenté de nombres positifs. 



» Je vais déterminer la partie principale du coefficient de a" dans le 



produit du développement de l'intégrale ci-dessus par {-, — A ou plutôt 



le coefficient de a-'"^", en remplaçant le dernier facteur par (i — «-)'. 



» En ayant égard à l'identité /-(i — a=) — (i — ra)[2 — (i - ra)] — (i — /'-) 

 et faisant ç = ^ + e -\-f, on trouve l'équation approchée 



D''^" (' - "')' = (_ i).-g(g + ,). . .(7 + 2/ + „ _ ,),-" ^' "~'2.,>„ ; 



elle donne pour la valeur principale du coefficient 



1.2. . (2^■ + /2) J^ K J > 



et, dans le cas où s' — \, A ne dépendant pas de ?i, on a, en définitive, 



A 



,ii-J--''+< 



» Les autres intégrales donneraient des résultats très petits par rapport 

 au précédent, et la conclusion est celle-ci : 



)) La série transformée convergera, comme celle qui donne bf.si l'ordre / 



2 ' 



des différences est augmenté d'une unité pour chaque dérivée et de deux 

 unités quand on passe d'un des indices ^, |, ... à l'indice suivant. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE, — Sur T application de ta théorie des Sinus des ordres 

 supérieurs à C intéijration des équations différentielles linéaires. Note de 

 M. J, Farkas. (Extrait d'une Lettre adressée à M.Yvon Villarceau.) 



a En écrivant, dans l'équation 



