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degrés croissent indéfiniment, nous allons présenter quelques remarques 

 sur les fonctions rencontrées dans cette voie par Lamé lui-même, et dépen- 

 dantes de fonctions doublement périodiques. 



» Nous rappellerons, à cet effet, que l'intégrale générale de l'équation 



(i) (i - .r=)V' + i[(i - x'f\y-^- [n[n + ])(i - .r^) - l']y = o 



est 



(.) v = GP7^^HPrj^p,^;;rî^ (M, 



en posant, pour abréger, 



' 2"-'r(?./+ i)ri_« + 1) ^ ' dr"+' 



L'intégrale générale de l'équation 



( 3 ) T- ( I - a' )y" + i [a- ( I - .r-^ )] 'y' +[n{n + i) a- - P ly = o 

 est également 



(4 ) y = G$'"* + H $'"' f '^'', • 



^^' - ' ' J ['£j"']'.rv/l-x^ 



On l'obtient en remplaçant, dans l'intégrale (2), P^"' par î^"', et, à cause 

 de ci- = I — .r'^, — — ;par ^ - ; et supprimant l'accent. La fonc- 



I — -^ .r' y/i — x'' 



tion 5";"' s'obtient elle-même en remplaçant, dans P^"', x'^ par i — ar'', et 

 supprimant également l'accent ('). 



n IL Cela étant, nous observerons d'abord que l'identité remarquée 

 par Lamé, savoir : 



(p=-..==)(/i5-g)+(v=- p^)(/.;ï- §)+(,.=- v=)(^g-gj = o. 



peut tout aussi bien s'écrire 



(') Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 558. 

 (») Ihid., t. XC, p. i34i. 



C. R., iSSo, >' Semestre. (T. XCI, NT) 6 



