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Alors, en ayant égard aux six relations distinctes, savoir ( ' ) 



{a) A?-B? = r-, A7 + C^-=i, 



( Al-Bl = P, A^-C^= I, 



les trois équations aux différentielles ordinaires de Lamé s'écrivent sous la 

 forme condensée 



(5) B;C;j"-ilB:C:)y+[«(«+.)B:-/^jv=o. 



Dans cette équation, la variable indépendante est A,, et l'indice / doit être 

 successivement supprimé, égal à i, égal à 2. L'intégrale générale de cette 

 équation est 



(6) r = c.^r-^m'fj^; 



où l'on a encore posé, pour abréger, 



r(/-t-l) n/Vf/ \v. "{" — ^] ( /? — 2 ) ■ ■ ■ (n — u -4 - I ) 





Tjl-^i] ^'^■•-^'i.i^f- 





n/i—'ii. 

 ' 1= 



_ 'r(2/-(-i)r(« + i) "' /IC'-*' 



•2-'r^2/ + ijr(« + ij^" ■^'' ZjV ' 1.2.3. ..f* 





C'est l'intégrale générale de l'équation de Lamé. Elle a été obtenue pour la 

 première fois, sous cette forme, par M. Liouville, en laissant toutefois la 

 valeur du polynôme ^"^ inconnue, et par suite les rôles respectifs des 

 entiers n et /indéterminés. On voit, par la seconde valeur de <ï>^"', que l'on 

 doit avoir nécessairement l<n. On connaît les beaux résultats auxquels 

 M. Liouville est néanmoins parvenu. 



» Si dans l'équation (5) on fait tendre le module Â: vers zéro par voie de 

 continuité, on tombe dans l'équation ( 3) pour / égal à i ou égal à 2, et le 

 polynôme $'/'' se change en tp;"'. Dans le cas de i supprimé, cette même 

 équation (5) devient impossible. 



( '] La.mé, Leçons sur les fonctions inverses, etc., p. 47- 



