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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques remcinjues relatives à l'équation 

 de Lamé ( '). Note de M. Escarv. 



« Le polynôme $;"', exprimé à l'aide des A,, conserve la même forme 

 pour i siippiimé, égal à i, égal à 2. On obtient ainsi les polynômes de 

 Lamé, que nous représenterons par NJ"', M\"\ R^"', en conservant, aux 

 indices près, les désignations de M. Liouviile. Egalé à zéro, il a, dans les 

 trois cas, ses racines réelles et comprises entre — \/2 et + ya. On peut 

 aussi l'exprimer à l'aide des B, et à l'aide des C,. En ayant égard aux rela- 

 tions [a), rappelées dans la Note de la séance précédente, et aux trois sui- 

 vantes, que Lamé en déduit comme conséquences, en introduisant le module 

 complémentaire k' , 



le polynôme $^''' s'écrit encore, en [losant 



rii + i] 



= 11, 



3."-'i'(2/-t- i]r(« -f- 1_ 



sous les six formes suivantes : 







^^n{ii — -f\{n — i]...{n 



H-i) f/"+'i"'"'^ 



1 . 2 . 3 . . . u. 



dz'^' 



— S'' 



,.=/, 



ix = 



^1 = 



(I) 



R^"' = nB^^[S':;(B= - k'-f-v-],^, 



- rl"+'IC- I W 



i — n',<- - k ) — -^^^ , 



M y 



(") _- 



nik' 



1 ,1,1+1, r^ 



.JQ.+i 



- //i+'iT' I V' 



dC"+' 



» Sous cette forme, on aperçoit, à première vue, la nature des racines 



') Voir Comptes rendus, iiiénie Tome, p. ^o. 



