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 on pourrait évidemment supprimer la lettre m aux indices qui la con- 

 tiennent, et la suite précédente deviendrait 



..., o_2.r, o_,x, ©(,.r, (f,,.T, ffijo-, ..., 



suite qui, étendue indéfiniment dans les deux sens, aurait l'avantage d'of- 

 frir des indices en progression arithmétique. 



» L'usage que j'ai fait des fonctions 0(;,a7 m'a suggéré l'idée d'étendre les 

 valeurs des indices p. à des nombres entiers quelconques, positifs ou néga- 

 tifs, de sorte que l'on puisse supprimer l'emploi du double signe ± dans 

 l'expression des théorèmes concernant les deux genres de sinus, hyperbo- 

 lique et elliptique, et réduire ainsi chaque système de deux théorèmes à une 

 formule unique. Cette extension ne nécessite aucune précaution particu- 

 lière quand les sinus appartiennent au genre hyperbolique ,- il en est autre- 

 ment dans l'autre cas. Il est nécessaire de préciser la signification des fonc- 

 tions ipi^ a? (qui deviennent alorsy^o?), quand les valeurs de [l sont en dehors 

 des limites indiquées plus haut. Le point de départ des conventions à éta- 

 blir, dans ce cas, est dans la relation conventionnelle 



» Il résulte de là tout d'abord que, en supposant \i. égal à l'un des 

 nombres positifs de la suite o, i .. . ?7i — i, on ramènera la fonctiony_,ja:' à 

 une autre dont l'indice appartienne à cette même suite,si l'on ajoute /« à 

 l'indice et que l'on change le signe du résultat. Il n'est pas difficile d'en dé- 

 duire cette règle que, quel que soit l'indice p, positif ou négatif, on ramè- 

 nera la fonction ^jj. a; à une autre dont l'indice soit un des nombres o, i, 

 2, . . . , ??z — I, moyennant l'addition ou la suppression d'un nombre conve- 

 nable de multiples nm de m à l'indice p. et l'application du facteur (— i )" 

 au résultat. 



» Moyennant cetteconvention, les règles pour ladifférentiation ou l'inté- 

 gration des sinus du genre hyperbolique, règles qui consistent à diminuer 

 ou augmenter l'indice d'une unité et qui ne pouvaient s'appliquer sans 

 restriction aux sinus du genre elliptique que pour certaines valeurs de l'in- 

 dice p., ces règles, disons-nous, s'appliquent sans restriction aucune aux 

 sinus des deux genres. 



» Ayant appelé l'attention de M. J. Farkas sur cette matière, j'ai reçu 

 de ce géomètre une Lettre, dont on trouvera plus loin un extrait ('), où 



(') Voira la Correspondance, pajie 209 de ce numéro. 



