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une équation différentielle linéaire et y,,j.2, ..•,7,, les éléments d'un 

 système fondamental d'intégrales. 



» Proposons-noiîs de former l'équation différentielle linéaire qui admet 

 pour intégrale la fonction z définie par l'équation 



(2) z=j{r, 



clx 





'J'2> 



dx 



d"'--y2 



dx": 





(l'"«yn 



drfn. 



où y est une fonction algébrique entière des fonctions j,, y\y . . . ,j-„ et de 

 leurs dérivées ayant pour coefficients des fonctions données de x. 



i> Tout d'abord, pour voir quel est l'ordre de l'équation différentielle 

 en s, remplaçons j,,j-2i •••)/« par les éléments d'un autre système fon- 

 damental d'intégrales u,, u.2-, . . ., Un en posant 



L'ordre de l'équation différentielle en z est égal au nombre de termes 

 linéairement indépendants qui figurent dans l'expression de z en u,, 

 U2, ... 1 Un- Soit p ce nombre ; désignons par 



les p termes en question linéairement indépendants. L'équation en z sera 



(i) 



= o. 



Le premier membre de cette équation est une fonction de u^, u^, . , . , u^^ 

 et des dérivées de ces fonctions qui se reproduit, mvdtipliée par un facteur 

 conbtanf, quand on remplace î/j, u.t,, ■ . , Un par les éléments d'un autre 

 système fondamental d'intégrales. On peut donc, d'après le théorème pré- 

 cédemment énoncé et en suivant la méthode indiquée pour le troisième 

 cas, exprimer le premier membre de l'équation (3) en fonction des coeffi- 

 cients de l'équation (i) et de leurs dérivées, et l'on obtient ainsi l'équation 

 cherchée en z. 



>) IL Pour appliquer ces considérations générales à quelques exemples, 



