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considérons l'équation différentielle du second ordre 



(4) .7? =«^ +*■?■' 



et proposons-nous de former l'équation différentielle linéaire admettant 

 pour intégrale 



y, étant une intégrale de l'équation (/|). Si l'on fait d'abord 



on voit que z contient trois termes linéairement indépendants ni, u^u.,, ni. 

 Par suite, l'équation en z est du troisième ordre. En faisant le calcul par 

 la méthode indiquée dans le § 1, on trouve, pour cette équation, 



,^v (Pz o d-z /,, , (la\ dz 1 dh ,\ 



» De même, si l'on se propose de former une équation différentielle 

 linéaire qui admette pour intégrale 



j-, étant une intégrale de l'équation (4), on trouve pour ; l'équalion du 

 quatrième ordre 



d'z c '^'^ / 1 1 , 'l"\ ^'^ 



d:;r.-&'^77^+[^^^'-^ob-^-^ — 



! -zi&a-b- 



,_, ; //• Q o 7 du db d'' a\ dz 



(6) \ — 6rt' — 3ort(6 — 7rt-T- + io — -f -— -r 



» ' 1 \ ' dx dx dx- j d.v 



07™ , da f. db d- h \ 



ôb- — :>.b-^ 5n— + -— s = o. 



dx d.r i/x' ) 



» Les équations (5) et (6) fournissent des types d'équations différen- 

 tielles linéaires du troisième et du quatrième ordre dont l'intégration se 

 ramène à l'intégration d'une équation différentielle linéaire du second 

 ordre. On voit facilement qu'on peut identifier avec l'équalion (5) toute 

 équation différentielle linéaire du troisième ordre pour laquelle l'invariant I 

 de M. Laguerre [Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 116, 22/)) est égal à 

 zéro. 



» III. Soient j-,,j-, deux intégrales distinctes de l'équation (4); la con- 

 dition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait entre ces intégrales une 



