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 P et Q étant des fondions nnifornies du paramètre z, n'ayant d'autres 

 points singuliers que des pôles. Je me suis posé la question suivante : 

 Exisle-t-il d'autres courbes algébriques que celles du genre zéto ou i, dont les 

 coordonnées soient susceptibles de s'exprimer par des fonctions uniformes d'un 

 paramètre à discontinuités exclusivement polaires? Il semble extrêmement 

 probable que ces courbes sont les seules jouissant de cetle propriété, 

 mais je n'ai pu encore l'établir avec une entière rigueur que pour les 

 courbes hyperelliptiques, c'est-à-dire données par une équation de la forme 



(3) j^z^ijc - n,){x -a,)...{a: - a„), 



où je supposerai que «,, flo, . . . , a„ sont des constantes différentes. Nous 

 allons voir que, si n est supérieur à 4i on ne peut mettre x et y sous la 

 forme (2). 



» Si l'on peut prendre x = V[z) de telle sorte que la fonction j de z 

 déduite de l'équation (3) soit uniforme, il est clair que les équations 

 P(2) = rt,, P(z) = «2) •••. P(^) = (^H auront toutes leurs racines d'un 

 degré pair de multiplicité. Considérons alors l'expression 



v/(p-«,)(P-«0(P-"3)(P-",) 



on voit de suite qu'elle sera une fonction entière R(z) de z, c'est-à-dire 

 uniforme et continue dans toute l'étendue du plan, et nous pourrons par 

 suite écrire, en désignant par Po la valeur de P(z) pour r. = z^, 



f , '^^ = = rR{z)dz = S(z), 



Jp. V'(P-«.)(P-"2)(P-«3)(P-«,) J,, ^' ^' 



S(s) étant, comme R(z), une fonction entière. 



» On conclut immédiatement de là que P(z) est une fonction double- 

 ment périodique çi[S(z)] de S(z), et il est utile de remarquer que la dérivée 

 de <J'(«), considérée comme fonction de ii, ne s'annule que quand (p prend 

 une des valeurs a,, a^, ct^, a^. Établissons maintenant que l'équation 



o[S[z.)] = a, 



où a est différent de «,, rt,, . . . , «4, ne peut avoir toutes ses racines d'un 

 degré pair de multiplicité. Nous remarquerons, d'abord que, si z ^ z, est 

 une racine de cette équation d'un certain degré de multiplicité, elle sera 

 racine du même degré de mulliplicité de l'équation S(z) = S(z,). Si donc 



