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nous désignons par ?<, et lu les racines de l'équation ©(?<) = a dans un 

 parallélogramme de périodes w, w', toutes les équations 



8(2) = Uf + mtà + m'w', S(r) = ii^ -r- mw + m''^)', 



où l'on donne à m et m' des valeurs entières quelconques, devront avoir 

 toutes leurs racines d'un degré pair de multiplicité; mais cela est impos- 

 sible, car, en prenant quatre quantités de la forme du second membre de 

 l'une ou l'autre de ces équations, et raisonnant comme précédemment, 

 nous verrions que S(z) est une fonction doublement périodique d'une 

 fonction entière T(s). Or une fonction doublement périodique d'une 

 fonction entière ne peut être une fonction entière; car, soit a + mo) + m'ui' 

 une série de pôles de la fonction doublement périodique : il ne sera pas 

 possible que, quels que soient les entiers m et m', les équations 



T(z) = a + nzw + m'o)' 



n'aient pas de racines, puisque, comme je l'ai montré dans mon Mémoire 

 Sur les fonctions entières [Annales de l'Ecole Normale, mai 1880), il existe 

 au plus une valeur a telle que l'équation T(z) = a. n'ait pas de racine. Il 

 est donc complètement établi que, dans les courbes hyperelliptiques et 

 par suite dans celles qui leur correspondent point par point, on ne peut 

 exprimer les coordonnées .r et j" d'un point quelconque par des fonctions 

 uniformes d'un paramètre à discontinuités exclusivement polaires. 



» Qu'il me soit maintenant permis d'indiquer brièvement la marche 

 suivie dans le cas général. Supposons, comme on le fait dans la théorie des 

 fonctions abéliennes, que l'équation (i) contienne un terme de degré m par 



rapport à )' et que, pour a? = co , le rapport - ait m valeurs finies et dis- 



tmctes. Soit | -^, r- une mtegrale abelienne de première espèce, y (a-, j'j 



étant un polynôme convenable de degré m — ?>. Je considère l'expression 



--;r— — — -r> qui est évidemment une fonction uniforme de z; mais on peut, 

 ^«(P. Q) ^ > t » 



de plus, établir qu'elle ne devient jamais infinie : c'est une fonction en- 

 tière G(r), et, par suite, si l'on désigne par Pq la valeur de P pour une 

 valeur Zq de z, on aura 



