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 équations dans lesquelles p, a, ]3 sont trois indéterminées; et indiquons 

 par F {x) un polynôme du degré n : 



r(x) = x" -+- ax"-' + bx"" -h.-.-h/c. 



» On a trois cas à considérer : 



» 1° Les valeurs de a, /3, z, Z{x) sont 



« = — n(n + p + i), ^ = {in-hp — i)a — pne, 

 z=F{x), Z{x)= I -^ 



(x-.)=F(.r)v/ï(^) 



Les coefficienls a, b, ... de F(j?) sont tous déterminés en fonction de n, 

 p et des racines de l'équation (:p[x)^o, sauf dans le cas où p = o, car dans 

 ce cas l'un de ces coefficients, par exemple a, reste indéterminé. C'est le 

 cas de l'équation de Lamé pour laquelle on a, comme il est connu, 



==F(x), z(^)=r^ 



dx 



vTI^ 



» On voit tout de suite que, en supposant p nombie entier, positif ou 

 négatif, pour p impair les intégrales/,, /o sont algébriques, pour p pair 

 elles sont elliptiques. 



.) 2° On a 



a = — \{2n~p + i){^7i + p + 3), ^=z iva — {{2n - p- + p)e, 



z = {x-e) ' ¥{x), Z{x) 



J [^- 



dx 



'F(^)\/ï( 



Les coefficienls a,b^ ... sont tous déterminés et les intégrales/,, jo sont 

 algébriques pour luie valeur quelconque de p. 

 » 3° Dans le troisième cas, 



a = -('î — /5 + ')("-*-2), ^j = [2n — p + i)a — {-2n — pn-p + i)e. 



2 = (x-e)'-PF(x), Z[x): 



f dx 



J(.,:_^)'-iF( 



^F(.r)v/^ 



Les coefficients rr, h,... sont tous déterminés, sauf que pour p = 2 l'un 



