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» II. Voici maintenant de quelle façon la fonction F3 peut être exprimée 

 à l'aide de F^. Les équations différentielles F, se ramènent à la forme F^ 



par les substitutions x ^= -■> y= -■> c^^^/j* «; on a donc, en se reportant 



à l'expression donnée précédemment de l'intégrale générale des équa- 

 tions F^, 



' Fj(a,a',p,/S', 7,jr,j) 



— kx-'-^y-"^' ¥.Àa + «' — 7 + 1, «, a', « — fi + i, «' — jS'+ I, -, - j 



+ Cx-^"''' Fi U 4- p'- 7+ r , a, [5', a - j3 + i , p'~ «'+ 1 , -. - 

 + Ux-P v-^' ¥.h> + a'_ 7 + , , i^, «', fi - « -H I , a' - /3'+ I , V 

 où A, B, C, D sont des constantes dont voici les valeurs. Posons 



ou a 



A = /(a,a',/3,/5'), B --=/(fi, fi', a, «'), 



C=/(«,/3', fi,«'), D=/(/3,«',«,/3'). 



» Cette formule (3) doit être rapprochée de celle que donne Gauss 

 [l-Ferhe, III Bd, p. 220, équation gS). 



» III. Les formules précédentes transforment les fonctions hypergéomé- 

 triques les unes dans les autres. Voici de nouvelles formules qui con- 

 tiennent une seule de ces fonctions : 



( F,(a, /3,p', 7,x,7) 

 ^^^ ' =(.-^) ^:.-7rP'F,(7-a,i3,,e',7,^^, 



j— I 



; F,(«,(3,,S',7,7',^,y) 



(5j ) =('— ^r^F,(a,7-/3,ri',7>V'.-7Tb' 



V • • \ 1 — X I — j; J 



\ =(i-jrF,(«, ri,7'-i3',7//. 7^.' - 7^7-)' 



d'où 



j F.(«,/3,ri',7,7',a',,>-) 



I =('-^^-JrF,(a,7-^i,7'-f5^7^/^^--^-^-,---y^-) 



