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observalion |)aicc que nous avons ilfs motifs de croire (jue plusieurs analystes ont tenté ce 

 genre de démonstration. » 



» L'assertion de Lihri est facile à justifier pour l'exposant 3. Si l'on 

 désigne par a, a,, ^o, ... les résidus cubiques du nombre p = 3// + t 

 compris parmi les nombres i, a, 3, . , . , /; — i , la congruence 



(i) « + £Z| -H I ;^o (mod. p), 



en supposant/? premier, admet un nombre de solutions exprimé par la 

 formule 



(2) 7Z r= '- , 



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où l'on désigne par L la racine positive ou négative du carré L^ dans l'équa- 

 tion lip=zL'--+- 27M-. Or, à chaque solution de la congruence (i) corres- 

 pondent neuf solutions de la congruence 



(3) x^ -H j-^ + 1 e:^ o (mod. /;). 



On les obtient en combinant les trois solutions de la congruence x^i^=« 

 (mod. p) avec les Irois solutions de la congruence x'_^a, (mod.p). Le 

 nombre des solutions de la congruence a:'' + j'M- i ^ o (mod. p) en nom- 

 bres entiers, positifs et inférieurs à p, est donc 



(4) N-p + L-S, 



et le signe de L est déterminé par la formule L;::^i (mod. 3). Soit /; — 7; 



4x7 = 1-4-27.1-, L=i, N = o. 

 Soit p =^ 13; 



4 X i3 = ri--+ 27.1-, L - - 5, N = o. 



Ainsi les deux nombres premiers 7 et i3 ne peuvent diviser la somme de 

 trois cubes sans diviser l'un de ces cubes. Mais ils sont les seuls nombres 

 premiers 3/i -t- i qui jouissent de cette propriété, car on a évidemment 

 L >. — 2 \/p, N > \'p{\/p — 2) — 8, et le second membre de cette inégalité 

 est positif à partir de /; = 19. Si p est >> 121, on a N > 91, et ce nombre 

 croît en même temps que p. 



') La formule (2), qui nous sert de fondement dans celte démonstration, 

 est une conséquence immédiate de celles par lesquelles Gauss effectue le 



partage des racines de l'équation =^0 en trois périodes (D.. 7, art. 338). 



