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 et par AJ^' le mineur de ce déterminant résultant de la suppression des 

 colonnes de rang r et ^ et des lignes de rang / et k. 



» La propriété dont il s'agit consiste en ce que l'on a, pour deux in- 

 dices quelconques i et k pris dans la suite i, 3, . . ., m^ l'égalité 



(3) (p, - X,, r,~ À.) - ^^ S(- 'r^A;;(F,, f,), 



(y, ij;) désignant comme d'habitude la fonction de Poisson formée avec 

 deux fonctions 9 et ij; des 211 variables, et ^ une somme qui s'étend à 



toutes les combinaisons deux à deux des indices r et ^ pris dans la suile 

 1,2, .... )n. 



» Pour démontrer ce théorème, soit u l'une quelconque des variables 



a;,, r„, /5,„+,. . ., p„; différentions, par rapport à u, les équations (i),, 



ce qui donnera 



f/F, dV, dp, <IV, tlp,„ 



1 '- L- • H -^— r= O, 



du rt/'i du dp,,, du 



dF, dF, dp, dF, dp,,, 



, -7- + T ^ f- -, — O, 



' du <tp, du dp„, du 



du dp, au dp,,, du 



et par suite 



^ ' du ^ V"] /' 



'P^ _ ' r» /F" F2 PA ''r. _ _ 1 D /*"" *■"=• ■■■'^" 



l'mj "« ii \ />!,"< 



- •> 



» Prenons deux quelconques des équations (4); soient F^, Fj les fonc- 

 tions F qui y figurent; faisons u =Xj.j étant l'un des nombres i, 2, ..,/?, 



et ajoutons ces deux équations multiphees respectivement par — ; — - — 

 Nous aurons, comme on le voit sans peine, 



\'j,PlJ \Pn/'jldj-i \p„pjjd.rj \['n,.Pil d'j 



Multiplions toute l'équation par (— i)'^A|'5, [j, désignant, pour abréger, la 

 somme \ + 2 + r + s, et faisons la somme des équations semblables obte- 

 nues en attribuant à r et à i- toutes les valeurs comprises dans la suite i, 



^- 



