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 relations (5) seront donc également symétriques par rapport à ces quan- 

 tités. Il en résulte que a, , «„, . . . (7,„_ , sont les racines d'une seule et même 

 équation du degré m — i : 



(6) C,„_. «'"-' + C,„_,a'«-^ -^ . . -h C„ = o. 



Celte relation permet de déterminer la forme de la fonction ox; car toute 

 fonction de jt et de /w — i quantités, qui admet nécessairement une relation, 

 telle que (6), du degré ni — i entre ces quantités, satisfait à la relation 



(7) C,„_,-;^^;;^ + C,„_,^^+... +C.— -hC„?x-o. 



» Cette proposition provient de la dépendance réciproque d'une équa- 

 tion différentielle à coefficients constants et de son équation caractéristique; 

 j'y reviendrai plus loin. 



» La fonction (px est donc 



(fx =^ e"'^ -h e"'-^ -+- ... 4- e"'"-' ^. 



» Les constantes arbitraires sont prises égales à l'unité, parce que les 

 quantitésrtjjrto, • • • ,a^_t,el par suite les exponentielles e"'-^, e"''^, . . entrent 

 symétriquement dans les relations (5). 



» La quantité x est ici déterminée par l'équation (a), qui devient, à cause 



des conditions (4). 



B„ar'«+B„ = o. 



» Le coefficient B^ est déterminé, et l'on peut faire B,„=: i ; on peut aussi 

 admettre, d'après la forme de çjjc, que les racines de l'équation (6) .soient 

 multipliées parla valeur arithmétique de la racine m'^™^ de B„ ; Basera pris 

 avec un signe tel que x soit toujours une racine p de l'unité positive, afin 

 d'introduire plus d'uniformité dans les calculs. L'équation auxiliaire (2) 

 se réduit en définitive à 



(8) p"'-i--=o, 



et la racine X de l'équation proposée a pour expression 



(9) X = e^iP+e^^P-r . . , 4- e"™-'?. 



» Telle est la forme fondamentale des racines des équations algébriques ; 

 les racines d'une équation du degré ?ii dépendent ainsi des racines d'une 

 équation du degré m — i . 



