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 les relations (C) auront lieu identiquement, puisque les seules variables 

 j", , . . , o-n, pm+t, ■ ■ -, p„ qui y figurent ont été traitées jusqu'ici comme des 

 variables indépendantes. 



» III. Supposons, dans ce qui précède, m — n, de sorte que les équa- 

 tions (i) ou (2) donnent les valeurs de p,, ..., p„ en fonction de .r ,,..., jr„. 

 Si, dans l'équation (6), on pose successivement y =:i, 2, .., n, et que l'on 

 ajoute, on trouve évidemment 



^^'•'■y^l'ÏHm'&r- 



1=1 /=i 



Mais les coefficients de —et de -^' sont des déterminants égaux et de 



signes contraires; donc, si les valeurs de/?,, . , /?„ tirées des équations (r) 

 sont telles que p^dx,^ . . .-hp„dx„ soit une dilférenlielle exacte, à cause 

 de la relation connue 



dp, _ (fpi 

 dxj djTi 



l'équation précédente se réduira à 



(B) (F„F,):---:0 



pour des valeurs quelconques de /■ et de s prises dans la suite i , 2, ...,//. 

 C'est une des formes principales de la condition d'intégrabilité données 

 parJacobi, et, d'après une remarque déjà faite, les seconds membres des 

 équations (1) seraient des constantes quelconques, puisque l'équation (B) 

 subsisterait. 



)> Quant à la réciproque de ce théorème, elle est comprise dans notre 

 équation (A); il suffit encore de supposer m = n dans les relations (i). Si 

 les fo'nctions F,, . .., F„ satisfont, pour toutes les valeurs de r et de i' prises 

 dans la suite i, 2, . . ., n, à la condition (B), l'égalité (C) aura lieu pour 

 des valeurs quelconques de i et de k prises dans la même suite, et, connue 

 \i,y.k ne renferment ici aucune lettre /;, la condition (C) prendra la forme 



d7t^d:^i~°'' 



ce qui revient à dire que )., r/jc, + H- In^^^n sera une différentielle exacte. 

 Cette réciproque devient d'ailleurs inutile dans notre manière d'exposer la 

 théorie de Jacobi. 



