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» IV. L'utilité de ces piiiicipes, pour l'intégration des équations aux 

 dérivées partielles, ressortira des remarques suivantes. 



» En premier lieu, il semble que ni Jacobi ni les géomètres qui ont 

 depuis simplifié ses travaux n'aient toujours indiqué avec une précision 

 suffisante, parmi les équations qui expriment sous différentes formes les 

 conditions dintégrabilité, celles qui sont des identités, indépendanles de 

 toute relation entre les variables x et p, et celles qui sont simplement des 

 équations, résultant de relations données. 



» Ainsi, soit 



le système iiitéqrable définissant p,, .-., p„ en fonction de x,, ..., j:„; si l'on 

 résout ce système de proche on proche sous la forme 



p,=f,{x,, ...,x,„a,p.2. . -p,,), 

 p.—JJx\, . .,x,„a,a,,p,., . ■ ..pn), 



on a, d'après Jacobi {Nova Methodus, § VI), 



Ces relations sont-elles des identités? M. Imschenetsky le dit, mais des 

 exemples fort simples montrent qu'il n'en est rien. Or ce point est impor- 

 tant, car dans la méthode de Jacobi on se sert des conditions d'intégrabi- 

 lité pour prouver que certaines équations aux dérivées partielles, dans 

 lesquelles les variables p fujurenl comme variables indépendanles, sont véri- 

 fiées. 



» En second lieu, dans la théorie de Jacobi, on fonde les relations (C), 

 dont on se sert pour parvenir au système intégrable, sur ce théorème : 



» Sip ,/)„ sont des fonctions dex,,,.., x„ telles que p^dxy + . .+pndx„ 



soit une différentietle exacte, elsi l'on exprime deux quelconques des quantités p 

 (Pj-etp^) en Jonction des variables x et d'autres quantités p en nombre quel- 

 conque, leurs expressions ç), et (p/, vérifieront la condition 



» Mais lorsque, partant de l'équation proposée p^ — fn on détermine 

 par la méthode de Jacobi les équations 



