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 qui doivent former avec la première le système intégrable, on ne sait pas 

 encore, lorsqu'on leur appliqué les relations (C), si ces équations appar- 

 tiennent réellement au système intégrable, car ces fonctions Fj, Fj, ... 

 sont définies par des équations partielles linéaires fournies par la condi- 

 tion (B) et qui admettent plusieurs intégrales distinctes. On n'est donc pas 

 autorisé, lorsqu'on choisit arbitrairement l'une de celles-ci pour la fonc- 

 tion Fj ou F3 que l'on cherche, à lui attribuer les propriétés du système 

 intégrable, et, en particulier, à appliquer aux valeurs p, = ç),-, p/,=^(p/, tirées 

 de ces équations le théorème ci-dessus, qui concerne exclusivement les 

 expressions tirées du système intégrable. 



» Ces difficultés disparaissent lorsqu'on fait reposer la méthode de 

 Jacobi sur notre équation (A), comme nous le ferons voir ailleurs. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe très étendue d'équations diffé- 

 rentielles linéaires à coefficients rationnels dont la solution dépend de 

 la quadrature d'un produit algébrique irrationnel. Note de M. Goran 

 DiLLNER, présentée par M. Hermile. 



« Conduit par la Note ingénieuse de M. Brioschi ('), je me suis proposé 

 de traiter la question suivante : 



» Trouver toutes les équations différentielles linéaires possibles à coeffi- 

 cients rationnels dont la solutioir dépend de la quadrature d'un produit algé- 

 br^ique irrationnel. 



>' Voici les traits principaux des résultats que j'ai obtenus. 

 » Posons l'équation différentielle linéaire d'ordre n à coefficients ra- 

 tionnels 



(1) y"-+/j,7'f«-"+. . 4- /?„_, j' + />„ J -= 



et les produits algébriques suivants, 



(1) 



^ ' } B = (x-è,)P'...(x -b;)\ 



Voir Comptes rendus, 9 août 1880. 



