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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Principes d'un calcul algébrique qui contient comme 

 espèces particulières le calcul des quantités imaginaires et des quaternions. 

 Note de M. Lipschitz. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Hermite.) 



« .... Quant à la notion de l'Algèbre, je suis convaincu de la justesse de 

 l'énoncé que l'objet de cette science est défini par les résultats d'un nombre 

 limité d'opérations^addition, soustraction, multiplication et division, ces opé- 

 rations faites sur des quantités réelles. Sous ce point de vue, l'introduction du 

 radical propre aux quantités imaginaires parait fondée sur le fait algébrique 

 que le produit de deux sommes de deux carrés s'exprime également par 

 une somme de deux carrés. De même les règles du calcul des quaternions, 

 introduit par Hamilton, découlent de la représentation, proposée par Euler, 

 du produit de deux sommes de quatre carrés comme une somme de quatre 

 carrés. Or mon attention s'est fixée sur la circonstance que la composition 

 de deux sommes de quatre carrés s'est présentée dans votre premier Mé- 

 moire sur les formes quadratiques, publié dans le Tome XLVII du Journal 

 de Crelle, à l'occasion de la transformation de la somme de trois carrés en 

 elle-même. Partant, la méthode que vous avez trouvée, vous-même et 

 M. Cayley, pour la transformation de la somme de n carrés en elle-même 

 m'a conduit à découvrir les régies d'un nouveau genre de calcul algébrique, 

 oii le calcul usuel des quantités imaginaires et le calcul des quaternions 

 sont contenus comme les deux premiers cas. Si vous voulez suivre l'ex- 

 plication que je vais vous en faire maintenant, vous verrez la différence qui 

 existe entre ma méthode et l'extension du calcul des quaternions donnée 

 par Hamilton dans les Tomes VII, VIII, IX daPIdlosophical Magazine. Je me 

 réserve de comparer mes recherches au travail de M. Frobenius, publié 

 dans le Tome LXXXIV du Journal de feu notre ami Borchardt. 



» Soient données —5^ quantités réelles quelconques X^j, oii a et b 



parcourent les valeurs 1,2, . ..n et où 7.^4 + lia = o. On en forme, avec 

 les variables réelles J7,, ...,a7„ et y,, . ...y„ les k équations 



œ,-hl.2tX^-\- ... 4-X„,a:'„=j, +>>,o72 + •■• + ^^.«J», 

 l,.,x,-+-x., -i- ■•■-h'k„.,Jc„ — l.,,y,-hy., -\- . . . ~h l^njn, 

 l,„x, + l2„x.^ -h ... -ha;„ — X„,,j, +^,2^^ + . . . + j„, 



C. R., 1880, a« Semestre. (T. XCI, N» IS.) 82 



