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 ainsi définie : 



(2) t. — .r' + a.v" + OL'x" + ... -\- a'"-'^""'. 



oc' .,x" , . . . , j:''"' sont les racines de l'équation proposée du degré 7n, supposé 

 premier dans la première partie de la méthode, et « est une racine de l'unité 

 positive du même degré. 

 » On en déduit 



^(r+i) ^ 1 ( ^0 _,_ ^n -Vf, _^ ^m-p i>. _,_ Y'-n'" +...); 



a. p, 7, . . . sont les diverses racines de l'équation a"* — 1 = o. On voit que 

 cette expression est équivalente à l'expression (i). 

 » Enfin, eu posant 



(4) t'-=.e, 



on trouve que la quantité 6" est connue et que 6', 6". . . . , ô''""'' sont les ra- 

 cines de l'équation résolvante du degré m — i : 



(5) 6'"-' — TÔ'"---4-U0'"-' — ... = o. 



)i Les coefficients T,U,.. . se déduisent rationnellement de l'un d'eux, 

 et celui-ci est donné par une équation du degré i . 2.3. . .(?ra — 2), formée 

 avec les coefficients de l'équation proposée. 



» Après avoir donné le moyen de calculer ces coefficients, Lagrange 

 ajoute : « Il est possible que cette équation puisse être abaissée à un degré 

 i> moindre, mais c'est de quoi il me paraît très difficile, sinon impossible, 

 » de juger a priori. » 



» Cependant on peut compléter cette méthode. 



« Les racines des équations, par leur nature, ne se distinguent générale- 

 ment pas les unes des autres, puisqu'elles se présentent toutes comme le 

 résultat d'une même opération; au contraire, elles peuvent se distinguer 

 par leurs valeurs, mais cela ne concerne pas la question présente. La raison 

 en est que, dans les conditions du problème qui donne lieu à l'équation 

 finale dont on cherche les racines, l'inconnue qui produit ces racines peut 

 être définie par diverses sortes de propriétés. Si la propriété qui définit est 

 caractéristique, les racines jouissent de toutes les propriétés de la quantité 

 inconnue; elles ne peuvent pas être distinguées et elles entrent symétrique- 

 ment dans l'équation; l'équation est irréductible. Si la propriété qui définit 

 est seulement commune à l'inconnue et à d'autres quantités, toutes ces 



