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 quantités sont racines de l'équation; mais ces racines peuvent se distinguer 

 par groupes correspondant chacun à une propriété caractéristique, celle-ci 

 définissant spécialement chaque espèce de quantité; l'équation est alors 

 réductible. 



» Cette définition des équations réductibles diffère de celle d'Abel, gé- 

 néralement reproduite dans les Ouvrages; cette dernière est purement con- 

 ventionnelle ; elle est relative à la forme des diviseurs de l'équation. On 

 sait d'ailleurs que Gallois introduit une nouvelle convention : ce sont les 

 quantités adjointes. Il est clair que la définition d'Abel ne peut conduire di- 

 rectement à la solution delà question présente, qui a pour objet la nature 

 même des racines. 



» Cela posé, Lagrange montre encore que, si m est premier, les quan- 

 tités 5', 6", ... ,5'"'^' appartiennent à une seule équation (5), et que par 

 tous les changements de ces quantités entre elles on ne forme que 

 i.2.3...(/7i — a) systèmes de racines Jî, tels que l'indique l'expression (3) . 

 C'est là le point essentiel. 



» Il en résulte que l'expression (5) est irréductible; aussi toutes les 

 quantités 5,6", 0'",... y entrent-elles symétriquement et ne peuvent-elles 

 être distinguées les unes des autres. L'ordre des accents u'est que relatif, 

 et tout autre ordre que l'ordre précédent satisfait nécessairement à la 

 question; ce n'est donc que par l'ensemble des termes que l'expression (3) 

 donne les quantités a?, par suite du concours symétrique des quanti- 

 tés 0', 6", Q'", ... : donc les 1.2. 3. . .(/tj — 2) systèmes sont équivalents. 



» Ensuite, pour ce qui concerne l'équation auxiliaire du degré 

 1 . 2 . 3 ... (m — 1) d'où dépendent les coefficients T, U, . . . , si l'on désigne 

 par R l'une des racines (qui ne sera autre que l'un de ces coefficients), 

 cette quantité R donnera lieu aux i.2.3. . . (/n — 2) systèmes précédents. 

 Mais une autre racine R' différente de R, donnant des coefficients T', U', . . . 

 différents des premiers, donnera aussi des quantités Ôqui différeront des pré- 

 cédentes. Or ces nouvelles quantités donneraient lieu à 1.2. 3. .(m — 2) 

 nouveaux systèmes différents de ceux que l'on vient de considérer, et, 

 puisqu'il ne peut y avoir que ï.2.'i. . .[m — 2) systèmes de racines qui 

 satisfassent à l'équation proposée, les nouveaux systèmes ne pourront 

 y satisfaire. Il en résulte que les racines telles que R' de l'équation auxi- 

 liaire ne jouissent pas des mêmes propriétés que la racine R, simple ou 

 multiple : cette équation est réductible. Ainsi la quantité R, étant seule de 

 son espèce parmi toutes les racines de l'équation auxiliaire, doit être don- 

 née en réalité par une équation du premier degré; par suite, les coefficients 



