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j [x, %), peut se mettre sous ta forme 



(4) fix, Bj - A, 13"-' + . . . 4- A„_,B + k„ 



où les coefficients A,, . . . , A„ bont des fonctions rationnelles de x. 

 » Posons, au lieu de I (6), 



(5) -n =ff{x, %)dx =/(a3"-' + ■■■ + A„_, % + K)dx, 

 d'où l'on tire, à l'aide de la formule (2), les dérivées 



j ■/:'^A,|î''-'-4-... + A„_,ÎÎM-A„, 



(6) >5"=|3''-'[(,^-i)A,V-hA;]-f-... ^^(A„_,V + A„_,)-!-A„, 



où les coefficients de ^"~' , . . . , S, dans toutes les dérivées, sont des fonc- 

 tions rationnelles de x. Donc, $o> '^\- ■ ■ 1 '^n étant des fonctions ration- 

 nelles de X, l'équation transformée I (5) sera de la forme 



(7) l3''Oo-^l3"-'$.H-.---f-|3<ï>„_,-i-$„^o, 



équation qui doit être identiquement satisfaite, d'où il suit que les équations 



(8) |U"$o-H$« = o, $, = ... = $„_, = 



doivent aussi être identiquement satisfaites. Mais chacune de ces n équa- 

 tions contient un ou plusieurs des coefficients p^, .... p„, qui seront 

 déterminés comme des fonctions rationnelles de x. En faisant usage de la 

 formule I(io) et en mettant, d'après (1), |B, = C^B-', une solution par- 

 ticulière prend, suivant I (4) et 1(5), la forme 



ry. as^ rUf^)" '-h...-^-A„.,^■-rA„l</^■ 



En observant que C, -+-... -t- Q, -- o [r -= 1,2,.. , [n — 1)], le produit de 

 ces n solutions particulières aura la forme 



(loj j,j,...j„-A«e"-^'^"^ 



» Pour une équation du second ordre, remarquons que, en posant 



C 

 A, ^ = —j où B, sera encore un produit algébrique de la forme 1(2), les 



solutions particulières prendront la forme générale, l'indice de B étant 

 supprimé, 



;-, =:Ae-^ ^•^ ^ et jr.^Ae'^ ^ •* -^ , 



