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 le produit des deux solutions étant en ce cas 



» Les coefficients p, et /j, de l'équation différentielle proposée 

 T" •" Pi '>' -^ Pi — " seront déterminés par les deux équations données dans 

 ma première Note, après y avoir remplacé X' par X'h- Aj et X" parX"-!- A'j, 

 c'est-à-dire par les équations 



(s)"+^2 + p.(x'+A2) + (x'4-a,)= + x"4-a;-o 



et 



p, — Y~h 2{X'-h Ao} = o. 



» Remarque I. — D'après ma deuxième Note, insérée dans les Comptes 

 rendus du 26 octobre, on conclura que, l'indice de racine de la part 

 irrationnelle du produit B étant inférieur à l'ordre n de l'équation diffé- 

 rentielle proposée, le nombre de solutions particulières sera le même que 

 cet indice, et qu'en ce cas les coefficients p,, . . . , p„ poinront être déter- 

 minés de diverses manières par un nombre égal d'équations. Pour l'équa- 

 tion du second ordre, si l'on suppose que l'indice de racine soit i, c'est- 

 à-dire queleproduit B ne contienne aucune irrationnalité.il n'y aura qu'une 

 solution, et les coefficients p,, ■ ■ ■ , pn seront déterminés de diverses ma- 

 nières par l'équation (7), après y avoir posé C = o, ou par l'équation 



p, + p,{x'-hh,) + (x'+A,)^ + x"H- a; = o, 



où X est le logarithme d'un produit algébrique [I (2)] et A, une fonction 

 rationnelle quelconque. 



» Remarque JI. — L'intégrale (9) est la plus générale possible de ce genre 

 qui puisse engendrer une équation différentielle linéaire à coefficients 

 rationnels; car, s'il y en avait une plus générale, elle serait nécessairement 

 de la forme 



mais, si les fonctions <i^{x) sont rationnelles, cette intégrale n'est pas plus 

 générale que celle de la formule (9) ; si les fonctions f^ étaient d'une autre 

 forme, par exemple de la forme exponentielle ou irrationnelle, les coeffi- 

 cients p,. . . . , p„ contiendraient des fonctions exponentielles ou irration- 

 nelles, et l'équation I (r) ne serait plus une équation à coefficients 

 rationnels. » 



