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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété des fonctions uniformes d'une 

 varialde, liées par une relation algébrique. Note de M. E. Picard, présentée 

 par M. Hermite. 



« Dans une précédente Communication (26 juillet 1880), j'ai montré 

 que, si deux fonctions uniformes d'une variable z, à discontinuités exclu- 

 sivement polaires, sont liées par une équation hyperelliplique, cette der- 

 nière ne doit pas avoir un degré supérieur au quatrième, et l'on trouve alors 

 facilement les formes possibles des deux fonctions. Considérons maintenant 

 d'une manière générale deux fonctions iniiformes u et c, liées par la 

 relation algébrique irréductible de degré m 



(l) F{n,i') = o. 



» Examinons d'abord le cas où la courbe représentée par l'équation (F) 

 serait imicursale. On peut alors exprimer rationnellement u etf au moyen 

 d'un paramètre, et cela de telle manière qu'à un système de valeurs de u 

 et i' ne corresponde qu'une seule valein- du paramètre. Celui-ci sera alors 

 une fonction uniforme de la variable, et l'on aura par suite, [)our 11 et v, 

 les formes suivantes : 



(f^) 



«=y [R{z)], 



f et (p, étant des fonctions rationnelles, et R(z) une fonction uniforme. 



» Abordons maintenant le cas général. Nous supposerons, comme on le 

 fait dans la théorie des fonctions abéliennes, que l'équation (I) contienne 



un terme de degré m par rapport à v, et que le rapport - ait m valeurs finies 



et distinctes pour u = co , 

 » Soit 



P 



K{",») 



«ne intégrale abélienne de première espèce relative à l'équation (I), 

 f{u., *') désignant un polynôme convenable de degré m — 3. J'envisage 

 l'expression 



