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qui est manifestement, comme ti et v, une fonction uniforme de z; mais il 

 y a plus : nous allons montrer que cette fonction est une fonction entière. 

 Examinons d'abord ce qu'elle devient pour un pôle z — « de ». Dans le 

 voisinage de u infini on aura, puisque l'intégrale considérée est de pre- 

 mière espèce, 



/(".") ^ M ^ 



f;, («,(-) II'"'' 



M prenant une valeur finie et différente de zéro pour u = ^ , et l'entier m. 

 étant égal ou supérieur à 2. Si n est le degré de multiplicité du pôlea, on 

 aura alors 



___^ =.(,_<,■(-.)-. P(,_«), 



et, par suite, l'expression ne devient pas infinie pour z = a. 



» Soit maintenant Zq une valeur de z telle que la valeur correspon- 

 dante M„ de u soit un point critique de la fonction algébrique v de u définie 

 par l'équation (l). A une valeur de z voisine de z^ correspondent une 

 valeur de u et une valeur de v qui fait partie d'un certain système circu- 

 laire de racines de l'équation (I) relatif au point critique Uq. Soit /j son 

 degré; on voitde suite que ;z = Zo devra être une racine de l'équation?^— -«,, 

 avec un degré de multiplicité égal k p ou un multiple Ip de p. On a d'ail- 

 leurs, dans le voisinage de u = u„. 





M prenant une valeur finie et différente de zéro pour n = ?/„, et l'entier a 

 étant inférieur à p. On aura donc 



du 



(2 -^0 )""-"-' P(=-^o 



Il est donc bien établi que l'expression (II) est une fonction entière, que je 

 désigne par G(z). On en déduit par l'intégration 



G,(z) étant, comme G{z), une fonction entière. L'équation (III) constitue 

 une relation entre les fonctions uniformes « et G,. Mais une pareille 



