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ANAf.YSE MATHÉMATIQUE. — Sur fes équations algébriques; examen des propo- 

 sitions d'Abel. Note de M. E. Wf.st, présentée par M. Yvon Villarceaii 



« Abel a démontré que les équations algébriques ne peuvent, en général, 

 être résolues algébriquement. Je rappellerai les doutes émis sur cette pro- 

 position ; à cet effet, il me suffira de citer un passage du Rapport de 

 M. J. Bertrand sur les progrès les plus récents de l'Analyse mathématique 

 (1868). On y trouve (p. 10) : « Il est impossible cependant de ne pas citer, 

 avant de quitter les travaux de M. Hermite, son beau Mémoire sur l'équa- 

 tion du cinquième degré. Abel, en prouvant l'impossibilité de la résoudre, 

 semblait avoir mis fin aux recherches sur celte question, si longtemps et si 

 inutilt^ment abordée. Il n'en a rien été pourtant, et les ressources 6e 

 l'Analyse mathématique, reconnues insuffisantes sous la forme adoptée 

 jusque-là, devaient seulement être essayées dans une autre voie. » 



» Abel, OEuvres complètes, t. II, p. 191 et 192, indique, pour condition 

 lie résolubilité des équations algébriques, dans le cas d'un degré premier, 

 que l'équation auxiliaire de degré i .2.3. . .(m — 2) de la méthode de 

 Lagrange doit avoir une racine exprimable rationnellement par ses 

 coefficients. 



» J'ai montré, dans une Note précédente, que cette condition est toujours 

 remplie, puisque celte équation réductible contient une racine dépendant 

 d'une équation du premier degré, qui est au reste la véritable équation 

 auxiliaire. 



« Il y a erreur dans la conclusion d'Abel, parce qu'il a admis, sans le 

 démontrer, que l'équation auxiliaire pouvait ne pas admettre de racine 

 rationnelle. Cette équation, formée d'une façon particulière, ne peut être 

 traitée comme inie équation générale. 



)) On trouve encore ce qui suit, t. l, § IV, p. 21 . Après avoir établi une 

 suite de théorèmes, Abel admet l'expression 



(i) R'"=i'; 



m est un nombre premier, R une fonction rationnelle des coefficients de 

 l'équation proposée, c'est-à-dire une funclion symétrique des racines, et f 



