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 une fonction rationnelle des racines. On en conclut 



(>'«— R-- o. 



Mais il est impossible d'abaisser le degré de cette équation, et la fonclion i> 

 doit avoir m valeurs différentes. Si m = 5, m doit être un diviseur du pro- 

 duit I .2.3.4.5; par suite, m ne peut être que 2, 3 ou 5. Il suffit d'exa- 

 miner le cas de m = 5. En vertu de ce qui a été établi, on a 



(3) yR —''0 + /')^' -H ''2'^" -+- ''3'^' + ''-.■^■■''i 

 et, par là, 



L 1 1 1 



(4) x = s„ + s,K'-h s^R'-h s^R'-h s,^R'; 



5„, S,, ... et /■„, /'i, ... sont des lonclions symétriques des cinq quantités j:. 

 On en tire 



(5) s, R"= i;{x, -+- «''^2 -f- a^x, + arx ., -f- axj), 



a étant une racine do l'équation «° = i. Cette équation est impossible, 

 attendu que le deuxième membre a cent-vingt valeurs et qu'il doit étrf 

 racine de l'équation du cinquième degré 



(G) 'J - s\R = o. 



1) Le défaut de cette démonstration consiste à supposer que R est une 

 fonclion rationnelle des coefficients de l'équation proposée; la conclusion 

 exprime simplement que les racines du cinquième degré ne sont pas, en 

 général, exprimables au moyen de quantités irrationnelles du premier ordre ; 

 cette condition appartient aux équations binômes. 



» L'expression (i) ne subsiste généralement que si R est une racine 

 d'une équation du quatrième degré, comme l'indique la méthode de 

 Lagrange. D'ailleurs Abel énonce la proposition suivante (t. II, p. 190) : 

 Si une équation irréductible dC un décoré premier (xest résoluble algébriquement, 

 les racines auront la foime 



(7) jr = A + ^R, + Çh, + ...+ ÇK^, 



-Il 



J étant une quantité rationnelle, et R , , Ro, . . . , R^^, étant racines d^une équa- 

 tion de degré p. — 1 . 



» Ainsi les démonstrations d'Abel ne permettent pas de conclure à 

 l'impossibilité de résoudre algébriquement les équations. Tl existe encore 



