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 d'autres démonstrations de cette impossibilité; je ne puis les passer ici en 

 revue; ce que j'ai dit suffira, d'autant plus que les travaux d'Abel sont le 

 point de départ de presque tous les travaux modernes sur les équations 

 algébriques. Par exemple, pour ce qui concerne la démonstration de 

 Wantzel, on verrait d'abord l'erreur qu'elle présente au point de vue 

 logique, puis, au point de vue mathématique, la raison même de cette 

 erreur. 



» Abel a donné une classification des quantités irrationnelles dans les 

 deux Mémoires déjà cités; cette classification, généralement adoptée, ne 

 joue aucun rôle dans les démonstrations précédentes : il convient cepen- 

 dant de l'examiner, parce qu'elle pourrait donner lieu à des confusions. 



'' D'après Abel, les exposants radicaux qui entrent dans une expression 

 irrationnelle doivent être exclusivement des nombres premiers, afin que 

 l'un de ces radicaux ne puisse être exprimé par d'autres radicaux de la 

 même expression. Cette condition est restrictive, car le nombre entier qui 

 forme l'exposant d'un radical n'influe pas sur la nature de la quantité 

 représentée par ce radical. Pour s'en convaincre, il suffit de voir que, net p 

 étant deux nombres premiers, le développement de y^a par la formule du 

 binôme est absolument de même nature que le développement de "\/a; par 

 suite, il n'y a pas lieu de distinguer ces deux cas. Au contraire, y b -+-\~a 

 représente une quantité tout autre; si a est une quantité rationnelle, et si 

 b est ou une quantité rationnelle ou une quantité irrationnelle du premier 

 ordre, on pourra dire avec Wronski que '\/a est du premier ordre et que 



V^ ■+- \(i est du second ordre. Suivant Abel, l'expression 



(8) ^2 -I- v/3 — v'2 + v'tt + V^5 -t- 0: 4- \/3 - \,li -^ s^n, 



où yâ et y/Ti sont connus, est une irrationnelle du deuxième ordre, 

 .1 car, outre les radicaux \f^ et \jn, elle ne contient que les radicaux 



<c V 3 — v'2 -h \jn et Y 5 -t- V;: -h y/3 — \j2 -H sj-a. » Suivant Wronski, l'ex- 

 pression (8) est du troisième ordre, parce que le troisième terme est du 

 troisième ordre, et les deux autres d'ordres inférieurs. C'est ainsi que 

 les racines d'une équation algébrique de degré m sont généralement 

 des expressions radicales de l'ordre m — i. Wronski a signalé ce fait 

 en iBi I, dans Y Introduction à la Philosophie des Mathématiques . 



C. R., i88o, 2* Semestre. (T. X.CI, N" 19.) lOO 



