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» Dans le deuxième cns, on obtient un nombre fini de systèmes réduits, 

 parmi lesquels il en est deux que j'appelle exlrêines et dont les coefficients 

 se calculent très aisément. Il n'y a pas de substitution semblable. 



» Dans le troisième cas, le problème se ramène à la réduction d'une 

 forme quadratique linéaire indéfinie. C'est ce cas qui est le plus intéressant, 

 parce que c'est le seul où il y ait des substitutions semblables. Y a-t-il 

 des transformations binaires à coefficients entiers qui reproduisent un sys- 

 tème composé d'une forme linéaire et d'une forme quadratique? C'est là un 

 problème qui a été déjà traité par M. Hermite, dans son célèbre Mémoire 

 sur les formes quadratiques ternaires {Journal de Crelle, t. 4-7), M. Her- 

 mite a fait voir qu'on pouvait le ramener à la solution en nombres entiers 

 de l'équation 



où G est une quantité donnée. 



» C'est aussi à une équation de cette forme que j'ai été conduit, par une 

 voie toute différente. Mais elle ne m'aurait pas suffi pour trouver toutes les 

 substitutions semblables, ce qui était mon but, et j'ai dû avoir recours à 

 d'autres considérations. 



» A et B étant des nombres complexes existants, C un nombre com- 

 plexe idéal, je conviens d'écrire 



A = B (mode) 



lorsque A — B est divisible par C, et je fais voir que ces congruences com- 

 plexes jouissent identiquement des mêmes propriétés que les congruences 

 ordinaires, et en particulier de celles qui sont une conséquence du théo- 

 rème de Fermât. Je ramène ensuite le problème des substitutions sem- 

 blables à la résolution d'une congruence complexe de la forme 



A'"=i (mode), 



qui se traite de la même façon que les congruences ordinaires de la même 

 forme. 



» J'ai donné quelques exemples numériques, et j'ai fait voir, par 

 exemple, par des calculs très rapides, que la plus simple des substitutions 

 linéaires à coefficients entiers qui reproduisent le système 



est la suivante : 



x = Xf+ 5918360^,+ i465i28oz,, 



y— ^SoggiiOij-, + 1 129195205, , 



-— 188199207,+ 460992012,. 



