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dois ajouter que j'ai été vivement sollicité de le faire par M. Hugo Gyldén 

 lui-même, à qui j'en ai récemment donné connaissance. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété des polynômes X„ de Legendre. 

 Note de M. Laguerre, présentée par M. Hermite. 



« 1. Étant donné un polynôme entier F( r), on sait que l'on peut tou- 

 jours, eu désignant par A, B, ..., H, R, L, ... des coefficients constants, 

 poser identiquement 



F(x) = AX„,+ BXp + ...+ HX,HhKX,HhLX,4-,... 



Je supposerai que les nombres entiers m, p, ... soient rangés par ordre 

 croissant de grandeur; cela posé, on peut énoncer le théorème suivant : 



» Le nombre des racines positives de t'étjualian F(.t;) = o, qui sont égales ou 

 supérieures à l'unité, est au plus égal ou nombre des variations que présentent 

 les termes de la suite 



(i) A, B, ..., H, K, L, .... 



» Pour établir cette proposition, je ferai voir que, si elle est vraie quand 

 la suite précédente prét^cnte (« — i) variations, elle subsiste encore quand 

 le nombre des variations est égal à «; la proposition sera ainsi démontrée, 

 puisqu'elle est évidente quand tous les coefficients sont de même signe. 



» A cet effet, en supposant que la suite (i) présente /î variations et 

 que H et R soient deux coefficients consécutifs et de signes contraires, je 



F'x] 



considère l'expression -^~-> qui s'annule en même temps que r(a?) et de- 

 meure finie et continue pour toutes les valeurs de x égales ou supérieures 



~i) •' d F Ix) f[x] l'i-i 1/ . i-w^ii 



a I luiito; en posant ^ = -^^■> on déduit du théorème de Rolle 



On a d'ailleurs 



/(a:) = 2A(X'„,X,-X:,X,„); 

 des deux équations 



(^'--i)x;, + 2.rX, = />(p + i)Xp 



( ') Ici, comme dans tout ce qui suit, je désigne par (k) le nombre des racines de l'équa- 

 tion « = o qui sont égales ou supérieures à l'unité. 



C. R., 1880, 2» Semestre. {"ï. XCi, N»21.) 112 



