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ot 



(,r=-i)X; -H2^X; = s{s^i)Xs, 



où p désigne un nombre entier quelconque, on détluit 



^[(^^-i)(x,,x,-x;x;)]=rp(^^_,)_,(^ + ,)lx,x„ 



d'où 



ou 



l-jœ--.)f{x)=xM^\ 



$(j:) = A[m(/» + i) — ^(^ + i)]X,„ + ... 



+ H[/-(r + i)-j(j4-i)]X,.+ Lr/(/4-i)_^(i + i)JX, + .... 



Or, si l'on considère les signes des coefficients de cette expression, on voit 

 qu'ils diffèrent de ceux de la suite (i) en ce que le coefficient de Xj est 

 annulé et que tous les coeificienis précédents conservent leur signe, tandis 

 que le signe des coefficients suivants est changé ; la suite de ces coefficients 

 présente donc exactement [n — i) variations, et l'on a, par hypothèse, 



(<I>)<rt-i. 



De l'équation (2) on déduit d'ailleurs, en s'appuyant sur le théorème de 

 Rolle et en remarquant que l'équation X,r=o a toutes ses racines infé- 

 rieures à l'unité, 



et des inégalités précédentes on conclut facilement 



(F)<«; 



la proposition est donc entièrement établie. 



» 2. Si l'on transforme l'expression du polynôme F(a;) en changeant 

 les signes de tous les polynômes de Legendre qui sont d'un degré impair, 

 on voit que : 



» Le nombre des racines négatives de l'équation F(a?) = o, dont la valeur 

 absolue est égale ou supérieure à l'unité^ est au plus égal au nombre des varia- 

 tions de la transformée. 



B On en déduit que : 



n 5/ V équation a toutes ses racines réelles et si leur valeur absolue est égale 

 ou supérieure à r unité, le nombre des racines positives est égal au nombre des 

 variations du premier membre de celte équation et le nombre des racines négatives 

 au nombre des variations de la transformée. 



