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» Je vais montrer que chacun de ces groupes j)eut se remplacer par un 

 autre de même forme, mais plus simple, en ce sens que, dans ce nouveau 

 groupe, chaque solution se déduit de la dernière par simple déviation. 



» Je démontrerai dans ce but la proposition suivante : 



» Si rexptession 



est une intégrale de l'équation P = 0, les <\i désignant des fondions de période co, 

 il en sera de même des v premières dérivées de cette intégrale, prises en considé- 

 rant eP"^ et les ^{x) comme des constantes. 



» Représentons, en effet, ces v dérivées successives par les notations 



d/ tPf d'f 



dZ^ J?' ■■■' dt-' P»'sqiie/(,r) est solution, f{.r-\- nrx,) l'est aussi, et il en 

 est de même de 



e-'«^py(.x^ + ,i« ) = eP^[<|.„(^) + (a; + « w) 4>,(a;) 



-\- {as + nr,))- <\i2(x) + . . . + {ce -i- no^y <\i^{œ)], 



quel que soit le nombre entier n. Or on a évidemment 



_iw,in r/ . ^ r/ s "" '■''/' {'"•')' d'f f"wV' d'/ 



e-""'?/ a? + n w ) =f{jc) -\ -f + ^ — '- ^ -^ H h ^ — '— -~L , 



"^ ^ ./ V > I rf.r 1.2 rt i^ I . 2 ... V d.v' 



et, cette expression satisfaisant à P = o pour une infinité de valeurs de nw, 

 les dérivées ^-5 ^^ ••■/-^ sont donc nécessairement des intégrales. 



(te (1.1- fl.l' " 



» Il resuite de ce théorème que ---5 —r^> •••» —, — sont des intégrales. 



' (Ij: dx- dx ° 



D'autre part, on peut, dans le groupe (i), sans altérer sa forme ni ses pro- 

 priétés, remplacer chacune des fonctions F,, Fj, . .., Fx_, par une combi- 

 naison linéaire de cette fonction et de celles dont l'indice est moindre. Or, 



d'V 



on établit sans peine que -r-^ est une combinaison linéaire de F,, Fj, .... 

 F),_j. On peut donc substituer au groupe (i) le groupe plus simple 



» Je me propose d'indiquer prochainement comment ces considérations 

 permettent d'obtenir la forme générale des intégrales d'une équation à coef- 

 ficients doublement périodiques. Une pareille équation, aux périodes w et 

 c./, admet un système fondamental d'intégrales se partageant en groupes 



