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» Si dans une surface (S) on considère toutes tes sections planes passant par 

 une même droite tangente en un point simple O, te tien des coniques osculalrices 

 de ces sections à teur point de contact con^mu?i avec la tangente est une surface 

 du second degré ayant un contact du second ordre avec la sut face (S). 



» Étant donnée une surface quelconque (Q) à neuf paramètres, on peut 

 en général disposer de ces paramètres de telle manière que la surface soit 

 osculatrice en O à la surface (S) et de telle manière que les trois tangentes 

 au point triple qu'a la courbe de section des deux surfaces en O soient 

 confondues suivant une tangente quelconque (T) donnée à l'avance. Dans 

 le cas où la surface (Q) est du second degré, la tangente (T) ne peut pas 

 être prise arbitrairement; elle ne peut avoir que trois positions, et alors il 

 y a une infinité de surfaces du second degré correspondantes à chacune de 

 ces directions. La théorie du contact d'une surface du second degré avec 

 une surface quelconque conduit donc à un système de lignes analogues aux 

 lignes de courbure et définies par une équation différentielle du premier 



ordre et du troisième degré en y-- Trois surfaces particulières du second 



degré peuvent être considérées comme ayant le contact le plus intime pos- 

 sible avec la surface proposée. 



» Les plans qui coupent la surface (S) suivant des sections planes surosculées 

 en O par une conique enveloppent ini cône de neuvième classe admettant le plan 

 tangent en O, pour jdan tangent septuple. 



» En dehors des surfaces du second ordre, il n'y a que la surface de Sleiner 

 et ses variétés et la swjace réglée du troisième ordre qui admettent une infinité 

 de coniques passant par chaque point de ta surface, 



» Il y a en général vingt-sept coniques qui coupeiit la surface (S) en sept 

 points confondus au point O. 



» Les plans qui coupent la surface (S) suivant des sections surosculées en O par 

 un cercle enveloppent un cône de cinquième classe admettant le plan tangent 

 pour plan tangent quadruple. 



» Le lieu despotes des inversions qui transforment ta surface (S) en une autre 

 (S'), pouvant avoir au point O', inverse de O, un contact du troisième ordre avec 

 une surface du secondordre, est une courbe du sixiènie ordre qui est rinverse par 

 rapport à O d'wre cubique gauche. 



» Par chaque point simple O de la surface (S) // passe en général dix cercles 

 coupant la surface en cinq points confondus. En d'autres termes, il y a dix sec- 

 tions dont les coniques osculalrices sont des cercles. 



» S'ilj' a plus de dix cercles, le point est nécessairement un ouibitic. 



