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» Une surface ne peut admettie plus de dix cercles passant en chaque point 

 sans se réduire à une sphère. 



» Les seules surfaces qui admettent dix séries de sections circulaires sont les 

 cjcUdes. 



» Je dirai quelques mots de la démonstration de ce dernier théorème. 

 On commence par établir que, si en chaque point de la surlace il passe 

 dix cercles coupant la surface en six points consécutifs, chacun de ces 

 cercles est nécessairement rencontré en deux points par l'un des neuf 

 autres. Cette remarque dispense des intégrations qu'il y aurait à faire pour 

 déterminer la surface, ou du moins elle permet de les effectuer par des 

 considérations géométriques. 



» On en déduit, en effet, que la surface contient deux séries de cercles 

 C, C, . . ., r, r', ... telles que tout cercle de la première série coupe en 

 deux points chaque cercle de la seconde. 



» On déduit aisément de là que les cercles (C), . -.jlr), . . . doivent être 

 orthogonaux à une sphère fixe (Ô). Par suite, la surface cherchée est l'enve- 

 loppe des sphères à deux paramètres variables, contenant l'un des cercles 

 (C) et l'un des cercles (r). Ces sphères sont orthogonales évidemment à 

 la sphère (5), et, comme elles coupent la surface cherchée suivant deux 

 cercles, le lieu des centres de ces sphères doit élre une surface double- 

 ment réglée, c'est-à-dire une surface du second degré. On reconnaît le 

 mode de génération des cyclides dû à M. Moutard. 



» Pour démontrer quelques-unes des propositions précédentes, j'ai fait 

 usage d'une forme réduite à laquelle on peut amener le développement de 

 la coordonnée z d'un point d'une surface quelconque en employant une 

 transformation homographique. Cette forme est la suivante, 



z =xj + x^ + y^ -ir xy^ax"^ + bj^) + u^-[- ..., 



et il y a une forme réduite analogue pour le cas des« variables. Elle per- 

 mettrait de traiter la question des invariants différentiels, qui a fait l'ob- 

 jet des importantes recherches de M. Halphen; mais j'ai laissé ce sujet 

 entièrement de côté. » 



