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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une classe d'éijuations différentielles linéaires. 

 Note de M. Appell, présentée par M. Bouquet. 



« Les recherches de M. Hermite (*) sur l'équation de Lamé, celles de 

 MM. Picard et Miltag-Leffler (^) sur les équations différentielles linéaires 

 à coefficients doublement périodiques et celles de M. Fuchs (') sur cer- 

 taines équations différentielles linéaires peuvent, à un certain point de 

 vue, se généraliser de la façon suivante. 



» SoitF(x, ^) =o une équation algébrique représentant une courbe 

 d'ordre m et de genrep et contenant un terme en y, et soit 



une équation différentielle linéaire dans laquelle ç'i,?'2>-- •,?'/j sont des 

 fonctions rationnelles de oc et j', jr étant la fonction algébrique de x dé- 

 finie par l'équation F ^ o. Les coefficients 9, possèdent deux sortes de 

 points singuliers, à savoir : 1° les points (Iaj'îa) de la courbe F= o, où 

 certaines des fonctions y,- deviennent infinies; 2° les points critiques de la 

 fonction algébrique y de x, que nous supposerons distincts des points 

 (^aj'îa)- Supposons que l'on ait constaté par la méthode de M. Fuchs que les 

 points (|/,,V3/,) et le point co sont des pôles ou des points ordinaires de la 

 fonction intégrale de l'équation (i). Soity(x, y') une fonction du point 

 analytique {^x^j) vérifiant l'équation diflérenlielle (i); marquons dans le 

 plan représentatif des x les points critiques de la fonction algébrique j 

 de a:, et voyons ce que devient cette fonction y"(x,jr) quand le point ana- 

 lytique {x^ij) décrit des cycles simples (Briot et Bouquet, Théorie des 

 fonctions elUpticjues , p. 170). On démontre d'abord ; 1° que, si le point 

 (x, j) décrit à la suite les uns des autres différents cycles simples, la 

 variation éprouvée par la fonction iutégraley(a;,_^) est indépendante de 

 l'ordre dans lequel ces cycles sont décrits; 2° que, si le point (x, j) 

 décrit successivement les ^ lacets binaires d'un même système circulaire 

 de q racines se permutant autour d'un point critique, la fonction /(a;, /) 

 ne change pas. 



( ' ) Comptes rendus, t. LXXXVI. 



[») Ibid., t. XC. 



(') Journal de Mathématiques pures et appliquées, année 18^8. 



