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» Si maintenant le point {x,y) décrit un cycle simple quelconque, la 



fonction y (a:, ^'j deviendra, api>ès un premier tour du point sur le cycle, 



J,{x,j-), après un deuxième [ourj2{x,j^),. . . , après un 7i''""'toury„(j?,/). 



Puisque ces 7i + I fonctionsy^y, , . . .,y„ vérifient l'équation différenlielle, 



elles sont liées par une relation de la forme 



(2) Cj{jc,y) + Cj,{x,r) + • • . + C„/„(a-, j) = o. 



» On conclut de là, en employant la méthode dont s'est servi M. Picard 

 dans les Notes citées, que l'on peut trouver des constantes Ao, A,, .. .,A„_, 

 telles que la fonction 



f{x,j) = AoJi'i^f) -H Aj,{x,j) + . . . + A„_,/„_,(x, j) 



se reproduise multipliée par un facteur constant quand le point (j[:,j>) décrit 

 le cycle considéré. On pourra ensuite prendre iy(.r,^) pour fonction inté- 

 grale et faire pour un deuxième cycle simple une transformation analogue 

 à la précédente, et ainsi de suite pour tous les cycles simples, de façon à 

 obtenir finalementune fonctionintégrale i'{x,j') qui se reproduit multipliée 

 par un facteur constant toutes les fois que le point (x, j") décrit un cycle 

 simple. ]^es fadeurs ou multiplicateius qui répondent. aux différents cycles 

 simples peuvent ne pas être tous distincts; on obtiendra des relations entre 

 eux en faisant décrire des circuits au point {jc, j) et remarquant que la 

 fonction intégrale ij>(x,7") ne change pas, puisque le point co est un pôle 

 ou un point ordinaire pour cette fonction. Il résulte de tout ce qui précède 

 que le nombre des multiplicateurs distincts de tj;(x,^) est égal au nombre 

 des périodes des intégrales abéliennes de première espèce relatives à la 

 courbe F = o, c'est-à-dire à 2p. 



» Soient u'''(x,j')(i = 1,2,...,/;) les/; intégrales abéliennes normales de 

 première espèce; considérons les cycles qui donnent les 2p périodes nor- 

 males, à savoir, pour l'intégrale «''', les périodes 



w','' = o, oV,' m O, 



W3'' = 2«,-,, o}j'=2a/2 



à ces cycles répondront, pour la fonction intégrale <]^[3C,y)^ 2p multiplica- 

 teurs |J.,,fJt,2, ... ,/:X2/). le facteur fj-A correspondant au cycle qui donne w'^'. 

 Soit6(j:,) la fonction de p variables formée avec les nombres a^/j (BnioT, 

 Théorie des fondions aliélieiuieSjp. ii4), et considérons la fonction 



Tf _, .,\ e[u'.'>[x,x) — gi] ■,,,„ .; ix-,:i)+i,ur-:[x.})+...+K„:r.iT,y) 



G. R., 1880, 2' Semestre. (T. XCI, N» 24.) I 29 



