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 qui sont telles que, au moyen dos valeurs qu'on en lire pour p, , ju, .. . , /»„, 

 l'expression 



( 3 ) p,drt-\- p2 d-^i 4- . • • H-/J« dx„ 



soit une différentielle exacte quand on y considère z comme une fonction 

 des variables .r,, ajj, . , ., x,,. 



» Pour qu'il en soit ainsi, les fonctions /,, y,, ...,./« sont astreintes à 



satisfaire deux à deux à ■ conditions, nécessaires et suffisantes, de 



la forme 



» Dans le cas où plusieurs équations proposées doivent être intégrées 

 simultanément, ces relations, convenablement employées, servent à recon- 

 naître s'il existe des solutions communes à ces équations ('); puis alors, 

 comme aussi dans le cas d'une seule équation, elles permettent, suivant 

 diverses méthodes, de compléter le système (2) au moyeu d'équations 

 convenables. 



» Lorsque la fonction z n'entre pas dans ces équations, elle n'entre pas 

 non plus dans l'expression (3), et le premier membre de l'équation (i) est 

 une différentielle exacte. M. J. Bertrand a montré, en rectifiant le procédé 

 défectueux indiqué par Jacobi pour atteindre le même but, que, sans 

 déterminer en rien la généralité du problème, tous les cas pouvaient se 

 ramener au précédent par une transformation générale qui, en faisant dis- 

 paraître la fonction, augmentait d'une unité le nombre des variables. Alais 

 cette transformation n'est pas indispensable, et l'on peut intégrer en con- 

 servant la fonction, comme cela a lieu, en suivant les méthodes de La- 

 grange ou de Cauchy, et même, comme on le pourrait aussi, en suivant 

 celle de Jacobi. 



» Dans ce cas, le premier membre de l'équation (i) n'est plus une diffé- 

 rentielle exacte, puisque la variable z entre dans les coefficients p,, p^, ..., 

 Pu; mais l'équation (t) reste intégrable, et nous nous proposons de montrer 

 qu'alors il existe toujours un facteur d'intégration, les conditions (4) étant 

 supposées satisfaites. 



» On sait que les conditions qui doivent être remplies pour que l'ex- 



Comptes rendus, t. LXXVI, p. 1 126; Annnlcs de l'École Normale, t, V, 2'= série. 



