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pression 



Xodcvg + X I <Yx| + . . . + X„ dx,i, 



où Xo, X,, . . . , X„ sont des fonctions des ti -f i variables x^, a;,, . .■ , x„ 

 admette un facteur d'intégration, sont données par la (ormule 





c)X„ t)X/, 



où À et ^ sont deux quelconques des nombres i, a, . .., n; leur nombre 

 est "'"~ ' ; et j'ai démontré (') que ces conditions sont suffisantes pour que 



n{n — 1 

 1 



le facteur existe. 



» Si nous appliquons ce théorème à l'expression 



dz — p^ f/r, — p^dx-:, — ... — p„dx,i, 



en posant, pour cela, Xq = i , x„ = ^, X;; = ~ /^a, X/, = — />/,, les conditions 

 d'existence du facteur deviennent 



, e \ api , àpi <iph , „ àj'h 



et elles expriment aussi, comme on le voit immédiatement, que l'expres- 

 sion /),(^jri -f-. ..+ /'„^/x„ est une différentielle exacte quand on suppose 

 que, dans les coefficients p,, pj, . . . , p„, z soit considéré comme une fonc- 

 tion de X,, x^y • . ., x^. 



» Par conséquent, d'après ce qu'on a vu, les conditions (5) et (4) sont 

 équivalentes. Donc : 



Si l'on tire les valeurs de p,, p^, . . ., p„ en fonction c/e jz, x,, . . . , x^ d'un 

 système de n équations distinctes, 



/, = o, /,= o, ..., /„=o, 

 les conditions nécessaires et suffisantes jiour que l'équation 



dz — /;, djc, — p^dxo — ... — p„dx,i = o 

 admette un facteur d'intéçj ration sont que les fonctions/, ,f2, ... ,_/„ satisfissentj 

 prises deux à deux, aux — conditions 



(') Comptes rendus, t. LXVIII, p. 799; Annales de l'École Normale, t. VII, p. 62. 



