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 » Quant à ce facteur, si on le représente par fx = e", il sera connu en 

 même temps que ce qui est une solution commune des n équations 



(0) yA = 7A + /^/.'7o + 7)7 = o. 



dans lesquelles c/„, q,, . .'. , y„ sont les dérivées partielles de u prises respec- 

 tivement par rapport aux variables z, x,, X2, ..., x^. On peut établir 

 d'une façon extrêmement simple l'intégrabilité de ce système d'équations 

 simultanées; car, si l'on calcule en effet l'expression désignée par le sym- 

 bole {Jh'Jk)i on trouve, pour sa valeur, 



résultat qui est identiquement nul, en vertu des relations (5), qui sont sup- 

 posées satisfaites. 



» Exemple. — Soit l'équationy, = [p"^ -+- (j^)y — qz = o, dans laquelle p 

 et q sont les dérivées partielles de z par rapport à a; et à j. On cherche 

 d'abord une fonctiony, satisfaisant à l'équation 



et l'on trouve y2 = /^" ^- 'i' — '^'î "' étant une constante arbitraire. Au 

 moyen des valeurs de p et de «jf déduites des équations/, = o ety2= o, 

 l'équation dz — pdx — qdy = o devient 



dz-''-^l^^^^:-dx-'-^dy=o, 



dont le premier membre n'est pas une différentielle exacte, mais le devient 

 après sa multiplication par le facteur 



y—- 



a')' 



et l'on trouve alors, pour solution complète de l'équation proposée, b étant 

 une nouvelle constante arbitraire. 



^2 



a- y- + [ax -+- f ». 



