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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la série de Foitrier et autres représentations 

 analytiques des fonctions d\ine variable réelle. Note de M. Hermite. 



« Les développements des fonctions arbitraires d'une variable en séries 

 trigonométriques et autres ont été, depuis Fourier jusqu'à notre époque, 

 le sujet d'un grand nombre de travaux, parmi lesquels doivent être men- 

 tionnés tout d'abord ceux que notre illustre confrère M. Liouville a publiés 

 dans le Journal de Malhémaliques , seul ou en collaboration avec Sturm. 

 Nous rappellerons ensuite le Mémoire célèbre où Dirichlet a donné la pre- 

 mière démonstration, entièrement rigoureuse, de la série trigonométrique 

 de Fourier pour le cas des fonctions ayant un nombre fini de maxima ou 

 minima. M. Lipschitz, dans un travail d'une grande importance, intitulé 

 De explicatione per séries trigonometricas instituendn funclionum unius variabilis 

 arbilrarium, et prœcipue earum, quœ per variabilis spatium finilum valorum 

 maximorum etminimorum numerum habent infinitunij disquisiiio (' ), a ensuite 

 établi que la formule de Fourier subsiste pour certaines classes de fonc- 

 tions qui ont un nombre infini de maxima et de minima. Enfin M. Paul du 

 Bois-Reymond, en donnant d'autres classes de ces fonctions, a fait voir 

 qu'il existe des cas où la présence de maxima et de minima en nombre 

 infini rend inapplicable la formule de Fourier. 



» Mais on est allé moins loin pour les autres genres de développements, 

 et, à l'exception de ceux où figurent les fonctions sphériques et les trans- 

 cendantes de Bessel, la possibilité du développement n'a pu être encore 

 établie d'une manière suffisamment rigoureuse. 



» Dans un Ouvrage que j'ai l'honneur de présenter à rAcadémie(-) au nom 

 de l'auteur, M. Ulysse Dini, professeur à l'Université de Pise, la théorie de 

 ces divers genres de développements est traitée, quelle que soit leur diver- 

 sité, sous un seul et unique point de vue, qui donne à la fois les résultats 

 de M. Lipschitz et de M. du Bois-Reymond pour la formule de Fourier, 

 les développements au moyen des fonctions sphériques et des fonctions de 

 Bessel, ceux dans lesquels figurent les racines d'une équation transcen- 

 dante sous les signes trigonométriques, et enfin ces nouvelles séries dépen- 



(') Journal de Eoichnrdt, t. G3. 



(') Série di Fourier e alire rappresentazionl analitiche délie funzioni di una variabile 

 reale; Pise, 1880. 



